高等数学

编辑于 2021 /12/21 14.01

李鹤年

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知识连接： （1）曲面积分 - 涉及偏导知识

（2）化二重积分 - 涉及二重积分的计算方法

（3）高斯公式 - 涉及三重积分的计算方法

1.本质：求曲面的近似面积

2.公式：∫∫f（x,y,z)dS (当这个ds足够小的时候，其带入对应函数值也可以近似为其映射曲面的面积)

（注：若f（x,y,z）表示面密度，则积分结果代表质量

3.性质：

（1）1做积分函数，结果代表曲面的面积∫ds = s

投影面不能成线（如下面第二题不能选xoy）

在这里插入图片描述

公式理解：

从曲面积分到二重积分，变的有两点，一是代换，二是加偏导

代换： 因为我是在曲面上分析计算的，而曲面是满足这个等式关系的，所以能替换很合理

补偏导：其实就是曲线积分的推广，求曲线，ds =根号（dx^2 + dy ^2),到了三维，就是多补一个dz

（一个不严谨的推导，仅用于记忆）

注意点：

（1）选择一个好的投影面（就是看谁偏导好求）

（2）积分区域是投影的那个面（不是原来的曲面）

（3）记得补偏导

记忆方法： 投哪个面，就看剩下一个面的奇偶性

什么时候用得上：

（1）一些一眼看过去很复杂的积分（往往是奇函数得0）

（2）一些对称了，但没有完全对称的函数，不如分母都有xy，分子只有x（用轮换，如下只有一个|y|）

![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/4b8fb7b30b134fc4a63af4

理解：

本质：曲面在三个坐标上的分量

性质：（易错）

解法一：

理解：

因为这里是dxdy而不是ds，所以不需要偏导（重要）

在这里插入图片描述

解法二：

（对应题目类型，一般有一个不知道的f（x,y,z），算一下会被消去）

上面不能用高斯公式（因为连续不一定可导）

解法三（高斯公式）

本质：曲面积分到三重积分的桥梁（使用三重积分的方法去解）

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记忆：满足条件的情况下，dv可以看成dxdydz，然后乘进去就等于左侧了

使用时易错点：

（1）补面之后记得减

（2）不连续的地方得删除