本文主要对“为什么函数值为定值时，梯度垂直于等值面”这一问题进行了证明，解答了初学者在初次学习这一概念及相关证明过程中存在的疑惑，供阅读参考。

如果存在曲面w=w(x,y,z)，设▽w是一个综合了w所有偏导数的向量： ∇ w = ( ∂ w ∂ x , ∂ w ∂ y , ∂ w ∂ z ) \nabla \mathbf{w}=\left( \frac{\partial \mathbf{w}}{\partial \mathbf{x}},\frac{\partial \mathbf{w}}{\partial \mathbf{y}},\frac{\partial \mathbf{w}}{\partial \mathbf{z}} \right) ∇w=(∂x∂w​,∂y∂w​,∂z∂w​) ▽w就是梯度向量，简称梯度。对于在函数w定义域上的任意x、y、z，都可以得到一个对应的梯度向量，所以也说▽w(x0,y0,z0)是w在点(x0,y0,z0)上的梯度。需要注意的是：▽w是一个空间上的概念。

首先了解一下什么是等值面？以w(x,y)=x2+y2=1为例，表示w的当前定值为1，w的函数表达式为x2+y2。如果将x-y-w映射到三维空间，则等值面为：

这里需要注意的是：x-y为无限延展的平面，然后w=1仅仅是w(x,y)=x2+y2函数的某一等值区域，或者称为等值面。需要注意的是，一定要以动态的视角去看待w(x,y)的梯度概念。

还是以w(x,y)=x2+y2=1为例，x、y用参数方程表示，x=x(t)，y=y(t)，等值面上的一条曲线向量是 r → = r ( t ) \overset{→}{\mathbf{r}}=\mathbf{r}\left( \mathbf{t} \right) r→=r(t)。

如果把等值面上的曲线向量 r → \overset{→}{\mathbf{r}} r→看成位移，参数t看成时间，则位移对应的速度向量是： v → = d r → d t = ( d x d t , d y d t ) \overset{→}{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{d}\overset{→}{\mathbf{r}}}{\mathbf{dt}}=\left( \frac{\mathbf{dx}}{\mathbf{dt}},\frac{\mathbf{dy}}{\mathbf{dt}} \right) v→=dtdr→​=(dtdx​,dtdy​) 如果点在 r → \overset{→}{\mathbf{r}} r→上移动，在任意一点上的速度向量 v → \overset{→}{\mathbf{v}} v→都和曲线 r → \overset{→}{\mathbf{r}} r→相切，这正是导数 d r → d t \frac{\mathbf{d}\overset{→}{\mathbf{r}}}{\mathbf{dt}} dtdr→​的含义：由于 r → \overset{→}{\mathbf{r}} r→在w上，所以速度向量 v → \overset{→}{\mathbf{v}} v→与曲面w也相切。即：速度向量与曲面的切向量共线。如下图所示（其中dr由dx和dy合成）：

至于为什么选择引入参数t，后面会明白的，我们继续…!(｡◕ˇ∀ˇ◕)!

链式法则告诉我们，w关于t的导数是由w的梯度向量和速度向量的点积构成： d w d t = ( w x d x d t , w y d y d t ) = ∇ w ⋅ d r → d t = ∇ w ⋅ v → \frac{\mathbf{dw}}{\mathbf{dt}}=\left( \mathbf{w}_{\mathbf{x}}\frac{\mathbf{dx}}{\mathbf{dt}},\mathbf{w}_{\mathbf{y}}\frac{\mathbf{dy}}{\mathbf{dt}} \right) =\nabla \mathbf{w}\cdot \frac{\mathbf{d}\overset{→}{\mathbf{r}}}{\mathbf{dt}}=\nabla \mathbf{w}\cdot \overset{→}{\mathbf{v}} dtdw​=(wx​dtdx​,wy​dtdy​)=∇w⋅dtdr→​=∇w⋅v→ 由于w是等值面，所以： ∇ w ⋅ v → = d w d t = 0 \nabla \mathbf{w}\cdot \overset{→}{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{dw}}{\mathbf{dt}}=0 ∇w⋅v→=dtdw​=0 但是问题就在于为什么？？？？是不是有感觉哪里不对劲的地方，有就对了。

▽w是空间上的概念，而 d r → d t \frac{\mathbf{d}\overset{→}{\mathbf{r}}}{\mathbf{dt}} dtdr→​则是时间上的概念，2个不同划分维度上的向量乘积为0真的具有意义嘛？？？答案是有的。

▽w=(2x,2y)，而 d r → d t \frac{\mathbf{d}\overset{→}{\mathbf{r}}}{\mathbf{dt}} dtdr→​也是不为0的，所以在方向上，这2个向量的空间关系是垂直的。这里的 d r → d t \frac{\mathbf{d}\overset{→}{\mathbf{r}}}{\mathbf{dt}} dtdr→​虽然没有直接采用曲面w的切向量，而是采用了速度向量进行代替。但是在本质上，速度向量和曲面w的切向量是共线的。所以，发现梯度垂直于速度向量，也就等同于梯度垂直于曲面w的切向量。

而引进速度向量的概念实则是为了简化梯度向量与曲面的切向量的乘积计算，更方便得到垂直的方向关系。

如果P是曲面w上的一点，所有以P为起点的任意方向的速度向量 v → \overset{→}{\mathbf{v}} v→将共同组成一个平面，这个平面就是曲面w在点P的切平面，如上图所示。

▽w垂直于每一个速度向量 v → \overset{→}{\mathbf{v}} v→，所以▽w也垂直于这些速度向量所在的切平面，这也意味着▽w在点P与等值面w垂直。

但是，还有关于 d r → d t \frac{\mathbf{d}\overset{→}{\mathbf{r}}}{\mathbf{dt}} dtdr→​是时间上的概念，而切向量却是空间上的概念这一问题？

参数t只是采用了“时间”这一物理意义，本质上t并非作为时间的概念，从x=x(t),y(t)就可以得出：t在本质上还是空间上的概念，采用“时间”这一概念是为了便于解释，实则是错误的。