在结石， 这极值定理指出，如果是实现的功能f{\ displayStyle f}是连续的在关闭间隔[一个，b]{\ displayStyle [a，b]}， 然后f{\ displayStyle f}必须达到一个最大和最低限度，每个至少一次。也就是说，存在数字c{\ displayStyle c}和d{\ displayStyle d}在[一个，b]{\ displayStyle [a，b]}这样：

极端值定理比相关更具体有限定理，它仅说明连续功能f{\ displayStyle f}在闭合间隔[一个，b]{\ displayStyle [a，b]}是有限在此间隔；也就是说，存在实数m{\ displayStyle m}和m{\ displayStyle m}这样：

这并不是说m{\ displayStyle m}和m{\ displayStyle m}是一定是最大和最小值f{\ displayStyle f}在间隔[一个，b]，{\ displayStyle [a，b]，}，}这就是极端值定理所规定的情况，也必须是这种情况。

极值定理用于证明罗尔定理。在公式下Karl Weierstrass，该定理指出非空的连续功能紧凑的空间到子集的实数达到最大和最小值。

最初的极端价值定理是由伯纳德·博尔扎诺在1830年代的工作中功能理论但是直到1930年，这项工作一直尚未发表。Bolzano的证明包括表明封闭间隔的连续函数受到界限，然后表明该功能达到了最大值和最小值。两种证据都涉及今天所谓的Bolzano – Weierstrass定理.[1]韦斯特拉斯（Weierstrass）在1860年后来发现了结果。

以下示例显示了为什么必须关闭和界限函数域才能应用定理。每个都无法在给定间隔上获得最大值。

定义f（0）=0{\ displayStyle f（0）= 0}在最后两个示例中，两个定理都需要连续性[一个，b]{\ displayStyle [a，b]}.

从真实线移动时r{\ displaystyle \ mathbb {r}}至公制空间和一般拓扑空间，封闭界间隔的适当概括是紧凑型设置。一套k{\ displayStyle k}据说如果它具有以下财产：打开集你α{\ displaystyle u _ {\ alpha}}}这样⋃你α⊃k{\ textstyle \ bigcup u _ {\ alpha} \ supset k}，有限的子收集你α1，…，你αn{\ displaystyle u _ {\ alpha _ {1}}，\ ldots，u _ {\ alpha _ {n}}}}可以选择⋃i=1n你αi⊃k{\ textstyle \ bigcup _ {i = 1}^{n} u _ {\ alpha _ {i}} \ supset k}。简而言之通常是“k{\ displayStyle k}有一个有限的子涂料。海恩 - 伯雷尔定理断言，当实际线的子集是紧凑的，并且仅当它既关闭又有界限时才紧凑。相应地，度量空间具有海恩 - 伯雷尔财产如果每个关闭和有限的集合也紧凑。

连续函数的概念也可以概括。给定拓扑空间v， w{\ displayStyle V，\ w}，功能f：v→w{\ displayStyle f：v \ to w}据说如果每次开放套件都是连续的你⊂w{\ displayStyle u \ subset W}，f−1（你）⊂v{\ displaystyle f^{ - 1}（u）\ subset v}也开放。鉴于这些定义，可以证明连续功能可以保持紧凑性：[2]

定理。如果v， w{\ displayStyle V，\ w}是拓扑空间，f：v→w{\ displayStyle f：v \ to w}是一个连续的功能，k⊂v{\ displayStyle k \ subset V}紧凑，然后f（k）⊂w{\ displayStyle f（k）\ subset W}也很紧凑。

特别是w=r{\ displaystyle w = \ mathbb {r}}}，那么这个定理意味着f（k）{\ displayStyle f（k）}封闭并为任何紧凑型组界定k{\ displayStyle k}，这又意味着f{\ displayStyle f}达到它至高无上和最小在任何（非空）紧凑型集k{\ displayStyle k}。因此，我们对极值定理具有以下概括：[2]

定理。如果k{\ displayStyle k}是一个紧凑的集合，f：k→r{\ displayStyle f：k \ to \ mathbb {r}}}是连续的函数，然后f{\ displayStyle f}有限，存在p，q∈k{\ displayStyle p，q \ in K}这样f（p）=supx∈kf（x）{\ textstyle f（p）= \ sup _ {x \ in k} f（x）}和f（q）=infx∈kf（x）{\ textstyle f（q）= \ inf _ {x \ in K} f（x）}.

更普遍的是，对于上半连续功能也是如此。（看紧凑的空间＃功能和紧凑的空间）。

我们查看证明上限最大f{\ displayStyle f}。通过将这些结果应用于功能−f{\ displayStyle -f}，下限的存在以及最小的结果f{\ displayStyle f}跟随。另请注意，证明中的所有内容都是在实数.

我们首先证明了有界定理，这是极值定理的证明的一步。极端价值定理证明的基本步骤是：

陈述如果f（x）{\ displayStyle f（x）}连续[一个，b]{\ displayStyle [a，b]}然后它在[一个，b]{\ displayStyle [a，b]}

假设功能f{\ displayStyle f}在间隔上不限制[一个，b]{\ displayStyle [a，b]}。然后，对于每个自然数字n{\ displayStyle n}，存在xn∈[一个，b]{\ displaystyle x_ {n} \ in [a，b]}这样f（xn）>n{\ displayStyle f（x_ {n}）> n}。这定义了序列（xn）n∈n{\ displayStyle（x_ {n}）_ {n \ in \ mathbb {n}}}}}。因为[一个，b]{\ displayStyle [a，b]}有限，Bolzano – Weierstrass定理意味着存在收敛的子序列（xnk）k∈n{\ displayStyle（x_ {n_ {k}}）_ {k \ in \ mathbb {n}}}}}的（xn）{\ displayStyle（{x_ {n}}）}。表示其极限x{\ displayStyle x}。作为[一个，b]{\ displayStyle [a，b]}已关闭，它包含x{\ displayStyle x}。因为f{\ displayStyle f}是连续的x{\ displayStyle x}， 我们知道f（xnk）{\ displaystyle f（x _ {{n} _ {k}}}）}}收敛到实际数字f（x）{\ displayStyle f（x）}（作为f{\ displayStyle f}是依次连续在x{\ displayStyle x}）。但f（xnk）>nk≥k{\ displaystyle f（x _ {{n} _ {k}}）> n_ {k} \ geq k}每个k{\ displayStyle k}，这意味着f（xnk）{\ displaystyle f（x _ {{n} _ {k}}}）}}分歧+∞{\ displayStyle +\ infty}，矛盾。所以，f{\ displayStyle f}在上面有限[一个，b]{\ displayStyle [a，b]}。◻{\ displayStyle \ box}

陈述如果f（x）{\ displayStyle f（x）}连续[一个，b]{\ displayStyle [a，b]}然后它在[一个，b]{\ displayStyle [a，b]}

证明考虑集合B{\ displayStyle b}要点p{\ displayStyle p}在[一个，b]{\ displayStyle [a，b]}这样f（x）{\ displayStyle f（x）}受到界限[一个，p]{\ displayStyle [a，p]}。我们注意到这一点一个{\ displayStyle a}是这样的一点f（x）{\ displayStyle f（x）}受到界限[一个，一个]{\ displayStyle [a，a]}通过值f（一个）{\ displayStyle f（a）}。如果e>一个{\ displayStyle e> a}是另一点，然后在一个{\ displayStyle a}和e{\ displayStyle e}也属于B{\ displayStyle b}。换句话说B{\ displayStyle b}是一个间隔在左端关闭一个{\ displayStyle a}.

现在f{\ displayStyle f}在右边是连续的一个{\ displayStyle a}因此，存在δ>0{\ displaystyle \ delta> 0}这样|f（x）−f（一个）|1{\ displayStyle | f（x）-f（a）| s>一个{\ displayStyle s> a}.

认为sb{\ displayStyle s δ>0{\ displaystyle \ delta> 0}这样|f（x）−f（s）|1{\ displayStyle | f（x）-f（s）| δ>0{\ displaystyle \ delta> 0}这样|f（x）−f（s）|1{\ displayStyle | f（x）-f（s）| 是另一个要点L{\ displayStyle l}然后所有点之间一个{\ displayStyle a}和e{\ displayStyle e}也属于L{\ displayStyle l}因为m[一个，x]{\ displayStyle m [a，x]}是单调的增加。因此L{\ displayStyle l}是一个非空的间隔，在其左端关闭一个{\ displayStyle a}.

现在f{\ displayStyle f}在右边是连续的一个{\ displayStyle a}因此，存在δ>0{\ displaystyle \ delta> 0}这样|f（x）−f（一个）|d/2{\ displaystyle | f（x）-f（a）| s>一个{\ displayStyle s> a}。我们将证明s{\ displayStyle s}是我们正在寻找的重点，即f{\ displayStyle f}达到其至上或换句话说f（s）=m{\ displayStyle f（s）= m}.

假设相反。f（s）m{\ displayStyle f（s）0{\ displaystyle \ delta> 0}这样|f（x）−f（s）|d/2{\ displaystyle | f（x）-f（s）| 0}这样|f（x）−f（s）|d/2{\ displaystyle | f（x）-f（s）|