这是一个包含 t=0,1,2t=0, 1, 2t=0,1,2 三个时刻的模型。模型中仅存在一种消费品，既可以用来消费，也可以用来投资。在 t=0t=0t=0 的时刻，每位消费者均有 1 单位的消费品禀赋。在 t=1,2t=1, 2t=1,2 时刻，消费者不再获得新的禀赋。在各个时刻之间，消费者的主观贴现因子均为 1。

两种资产

刻画流动性需求

为什么说这样能刻画流动性需求呢?

消费者最大化期望效用EU=λu(c1)+(1−λ)u(c2)EU = \lambda u(c_1) + (1-\lambda)u(c_2)EU=λu(c1​)+(1−λ)u(c2​)

在自给自足的情况下，消费者完全靠自己 0 时刻投资所产生的回报来支持其 1 时刻或 2时刻的消费。令 θ\thetaθ 为消费者在 θ\thetaθ 时刻投资在短期资产中的禀赋比例。{c1=θc2=θ+(1−θ)R\begin{cases} c_1 = \theta \\ c_2 = \theta + (1-\theta)R \\ \end{cases}{c1​=θc2​=θ+(1−θ)R​

注意:上式只有其中一个会实现，在1期消费了，在2期就不会消费了；在一期没消费，那么就一定在2期消费；

求解消费者最优效用max⁡θEU=λu(c1)+(1−λ)u(c2)s.t.{c1=θc2=θ+(1−θ)RFOC:λu′(c1)+(1−λ)u′(c2)(1−R)=0⇒λu′(c1)=(1−λ)(R−1)u′(c2)⇒解出θATK⇒EUATK\max_{\theta} EU = \lambda u(c_1) + (1-\lambda)u(c_2)\\ s.t. \begin{cases} c_1 = \theta \\ c_2 = \theta + (1-\theta)R \\ \end{cases} \\ \begin{aligned} FOC: &\lambda u'(c_1) + (1-\lambda)u'(c_2)(1-R) = 0 \\ \Rightarrow& \lambda u'(c_1) = (1-\lambda)(R-1)u'(c_2) \\ \Rightarrow& 解出 \theta^{ATK} \Rightarrow EU^{ATK} \end{aligned}θmax​EU=λu(c1​)+(1−λ)u(c2​)s.t.{c1​=θc2​=θ+(1−θ)R​FOC:⇒⇒​λu′(c1​)+(1−λ)u′(c2​)(1−R)=0λu′(c1​)=(1−λ)(R−1)u′(c2​)解出θATK⇒EUATK​

EUATKEU^{ATK}EUATK视为消费者的保留效用，作为比较的基准(如果任何一种制度安排达不到该值，那么就会回到自给自足的状态下)

虽然在消费者的微观层面存在不确定性，但在许多消费者加总起来的宏观层面其实没有不确定性。大数定律告诉我们，不管单个消费者的类型是怎样的，总人口中总有 λ\lambdaλ 比例的前期消费者，以及 1−λ1-λ1−λ 比例的后期消费者。因此，如果让一个中央计划者（central planner）来配置资源，可以让每个消费者都达到最高的 0 时刻的期望效用。这将产生最佳的配置。我们假设经济中有总数量为 N 的消费者（N 足够大，以使得大数定律生效）。则经济中 0 时刻消费品总禀赋为 N。经济中前期消费者的数量为 λN\lambda NλN，后期消费者数量为(1−λ)N(1-\lambda)N(1−λ)N。{λNc1=θN(1−λ)Nc2=(1−θ)NR⇒{λc1=θ(1−λ)c2=(1−θ)R\begin{cases} \lambda Nc_1 = \theta N \\ (1-\lambda)Nc_2 = (1-\theta)NR \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \lambda c_1 = \theta \\ (1-\lambda)c_2 = (1-\theta)R \\ \end{cases}{λNc1​=θN(1−λ)Nc2​=(1−θ)NR​⇒{λc1​=θ(1−λ)c2​=(1−θ)R​

求解消费者最优效用max⁡θEU=λu(c1)+(1−λ)u(c2)s.t.{c1=θλc2=(1−θ)R1−λFOC:λu′(c1)1λ+(1−λ)u′(c2)(1−R)−R1−λ=0⇒u′(c1)=u′(c2)R⇒解出θBST⇒EUBST\max_{\theta} EU = \lambda u(c_1) + (1-\lambda)u(c_2)\\ s.t. \begin{cases} c_1 = \frac{\theta}{\lambda} \\ c_2 = \frac{(1-\theta)R}{1-\lambda} \\ \end{cases} \\ \begin{aligned} FOC: &\lambda u'(c_1) \frac{1}{\lambda}+ (1-\lambda)u'(c_2)(1-R)\frac{-R}{1-\lambda} = 0 \\ \Rightarrow& u'(c_1) = u'(c_2)R \\ \Rightarrow& 解出 \theta^{BST} \Rightarrow EU^{BST} \end{aligned}θmax​EU=λu(c1​)+(1−λ)u(c2​)s.t.{c1​=λθ​c2​=1−λ(1−θ)R​​FOC:⇒⇒​λu′(c1​)λ1​+(1−λ)u′(c2​)(1−R)1−λ−R​=0u′(c1​)=u′(c2​)R解出θBST⇒EUBST​

由于R>1R>1R>1,所以肯定有c1BST1,那么只要持有长期资产，到1期去换成消费品就能获得比持有短期资产更优； 若pEUAKT,因为下式不能同时取等号{c1ATK=θ≤1c2ATK=θ+(1−θ)R≤R\begin{cases} c_1^{ATK} = \theta \leq 1 \\ c_2^{ATK} = \theta + (1-\theta)R \leq R \\ \end{cases}{c1ATK​=θ≤1c2ATK​=θ+(1−θ)R≤R​但是，EUMKTEU^{MKT}EUMKT未必与EUBSTEU^{BST}EUBST一样优(除非所有消费者的效用函数都是对数效用函数)

将三种状态的消费可行集画在图上为:

重要问题： p=1p=1p=1?

基于以上三点，其实银行与中央计划者就没有什么区别了； 当N很大时，不确定的c1c_1c1​与c2c_2c2​也会被确定(约束相等)，因为银行的完全竞争，最优化函数与中央计划者相同,选择的投资组合,所以效用也相等；{c1BNK,c2BNK=c1BST,c2BSTmax⁡θEUBNK=max⁡θEUBSTθBNK=θBST⇒EUBNK=EUBST\begin{cases} c_1^{BNK},c_2^{BNK} = c_1^{BST},c_2^{BST} \\ \max_{\theta} EU^{BNK} = \max_{\theta} EU^{BST} \\ \theta^{BNK}=\theta^{BST} \\ \end{cases} \Rightarrow EU^{BNK} = EU^{BST}⎩⎨⎧​c1BNK​,c2BNK​=c1BST​,c2BST​maxθ​EUBNK=maxθ​EUBSTθBNK=θBST​⇒EUBNK=EUBST那么也会有c1BNK