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傅里叶变换的基本性质线性性质平移性质对称性质卷积性质
傅里叶变换的基本性质
总的来说，傅里叶变换有这样几个性质：
线性性质（Linearity）平移性质（Shift）对称性质（Symmetry）卷积性质（Convolution）
参考 傅里叶变换-wikipedia
线性性质
线性性质：两个函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和，反之亦然 
import numpy as np
from scipy.fftpack import fft
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
def generate_complex_signal(num_sample, k0):
'''
generate a complex signal
num_sample : 信号的个数，即公式中的N
k0 : 周期个数
returns
x : 复正弦信号
'''
n = np.arange(num_sample)
x = np.exp(1j*2*np.pi*k0*n/num_sample)
return x
num_sample = 100
k0 = 20
x1 = generate_complex_signal(num_sample, k0)
num_sample = 100
k0 = 10
x2 = generate_complex_signal(num_sample, k0)
X1 = fft(x1);
X2 = fft(x2);
mX1 = np.abs(X1);
mX2 = np.abs(X2);
x12 = x1 + x2; # adding two signal
X12 = fft(x12);
mX12 = np.abs(X12);
# plot the results
plt.figure(figsize=(15,6))
plt.subplot(321)
plt.plot(x1)
plt.subplot(322)
plt.plot(x2)
plt.subplot(323)
plt.plot(mX1)
plt.subplot(324)
plt.plot(mX2)
plt.subplot(325)
plt.plot(mX1 + mX2)
plt.subplot(326)
plt.plot(mX12)
plt.show();
平移性质
在时域上对信号进行平移，那么等价于在频域的复平面上旋转一个角度
相反的，频域的复平面上旋转一个角度，等价于时域上的平移
可以证明平移只对DFT的相位有影响，并不会改变DFT的幅度
x1 = np.linspace(0, 1.0, 50)
x1 = np.append(x1,0)
x1 = np.append(x1,np.linspace(-1.0, 0, 50))
shifted_x = np.roll(x1, 10) # shift signal
X1 = fft(x1)
shiftedX = fft(shifted_x)
mX1 = np.abs(X1)
pX1 = np.angle(X1)
pX1 = np.unwrap(pX1)
mshiftedX = np.abs(shiftedX)
pshiftedX = np.angle(shiftedX)
pshiftedX = np.unwrap(pshiftedX)
# plot the results
plt.figure(figsize=(15,6))
plt.subplot(321)
plt.plot(x1)
plt.subplot(322)
plt.plot(shifted_x)
plt.subplot(323)
plt.plot(mX1)
plt.subplot(324)
plt.plot(mshiftedX)
plt.subplot(325)
plt.plot(pX1)
plt.subplot(326)
plt.plot(pshiftedX)
plt.show();
对称性质
当x是实数信号，其傅里叶变换为X，则有对称性质：
R
{
X
}
\mathfrak{R}\{X\}
R{X} 是偶对称
Z
{
X
}
\mathfrak{Z}\{X\}
Z{X}是奇对称
∣
X
∣
|X|
∣X∣是偶对称，
;
∣
X
∣
;|X|
X}=0
∣
X
∣
|X|
∣X∣是偶对称，
;
∣
X
∣
=
n
π
;|X|=n\pi
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