在密码学中经常用到有限域的乘法，一般在AES中用到的是GF(2^8)有限域内乘法。什么是有限域呢？有限域通俗的讲就是函数的运算结果全都包含在一个域中，不同于实数域，有限域有一个最大值，所有超过这个最大值的数都会经过一定的方法使他回到这个域中，在密码学中应用很广泛，2^8意味着这个域的最大值是256.

       以下代码是GF(2^8)有限域内乘法的C代码实现：

以下讲一下乘法的原理：

          在二进制中，所有的数都能用0x01,0x02,0x04,0x08,0x10,0x20,0x40,0x80异或得到，0x01,0x02,0x04,0x08,0x10,0x20,0x40,0x80的二进制表示如下：

       后一个分别是前一个的2倍。假设任意一个数a，他的二进制表示为10101101，可以由以下组合组成：

       而任何一个数x和a相乘都可以表示为

所以只要计算出

一切乘法的结果都可以得到。

         XTIME函数的含义是求一个数x与0x02的乘积，一般求一个数的2倍，都是作移一位，在有限域内，要计算有限域的乘法，必须先确定一个GF上的8次不可约多项式，Rijndael密码中，这个多项式确定为x^8+x^4+x^3+x+1，如果最高位是1的话，左移一位的同时要异或0x1B，是因为最高位是1的话，再继续左移会超出域的最大值，这个时候需要取除以同余式，也就是异或0x1B。

另一个乘数b右移一位和0x01与运算，分别和这8个字符相乘，再把相乘的结果异或。就得到了a和b相乘的结果。

接下来举个例子：

        首先0x3a=00111010，分别求

是正确结果。

如果要提高算法的计算效率，还可以这么做。

如果一个乘数的二进制可以表示为

一个乘数表示为

那么a的倍数关系可表示为：

那么他的乘积可以表示为

其中

所以乘法可以表示为

所以还有一种计算方法，那就是按照上面这个矩阵乘法。