カーブフィッティング手法 scipy.optimize.curve |
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Pythonを使ってカーブフィッティング（曲線近似）する方法として、 scipy.optimize.curve_fit を使う方法がありますが、使い方が少し理解しにくいと思ったので整理してみました。 用いる実験値Numpy.polyfit を使ったカーブフィッティング で用いたのと同じデータを用いて、比較してみましょう。 x_observed = [9, 28, 38, 58, 88, 98, 108, 118, 128, 138, 148, 158, 168, 178, 188, 198, 208, 218, 228, 238, 278, 288, 298] y_observed = [51, 80, 112, 294, 286, 110, 59, 70, 56, 70, 104, 59, 59, 72, 87, 99, 64, 60, 74, 151, 157, 57, 83]Python の List 型から、Numpy の Array 型に変換しておきましょう。 import numpy as np x_observed = np.array(x_observed) y_observed = np.array(y_observed) １次式近似まず、１次式に近似してみましょう。関数 func1 を定義します。a と b が、求めたい値になります。 def func1(X, a, b): # １次式近似 Y = a + b * X return Y関数 func1 の使用例はこちらです。 func1(x_observed, 2, 2) array([ 20, 58, 78, 118, 178, 198, 218, 238, 258, 278, 298, 318, 338, 358, 378, 398, 418, 438, 458, 478, 558, 578, 598])さて、scipy.optimize.curve_fit を使って近似してみましょう。 from scipy.optimize import curve_fit popt, pcov = curve_fit(func1,x_observed,y_observed) # poptは最適推定値、pcovは共分散 popt array([125.77023172, -0.1605313 ])ここで得られた popt が最適推定値を格納しています。Numpy.polyfit を使ったカーブフィッティング で得られた推定値と比較してみましょう。 ２次式近似次に、２次式に近似してみましょう。関数 func2 を定義します。a と b と c が、求めたい値になります。 def func2(X, a, b, c): # 2次式近似 Y = a + b * X + c * X ** 2 return Y関数 func2 の使用例はこちらです。 func2(x_observed, 2, 2, 2) array([ 182, 1626, 2966, 6846, 15666, 19406, 23546, 28086, 33026, 38366, 44106, 50246, 56786, 63726, 71066, 78806, 86946, 95486, 104426, 113766, 155126, 166466, 178206])さて、scipy.optimize.curve_fit を使って近似してみましょう。 from scipy.optimize import curve_fit popt, pcov = curve_fit(func2,x_observed,y_observed) # poptは最適推定値、pcovは共分散 popt array([ 1.39787684e+02, -4.07809516e-01, 7.97183226e-04])ここで得られた popt が最適推定値を格納しています。Numpy.polyfit を使ったカーブフィッティング で得られた推定値と比較してみましょう。 次のようにすれば、最適推定値を用いた近似曲線が描けます。 func2(x_observed, 1.39787684e+02, -4.07809516e-01, 7.97183226e-04) array([136.1819702 , 128.9940092 , 125.44205497, 118.81645644, 110.07383349, 107.47849913, 105.04260142, 102.76614035, 100.64911593, 98.69152815, 96.89337701, 95.25466253, 93.77538468, 92.45554348, 91.29513893, 90.29417102, 89.45263976, 88.77054514, 88.24788717, 87.88466585, 88.02614699, 88.46010889, 89.05350743]) ３次式近似同様に、３次式に近似してみましょう。関数 func3 を定義します。a と b と c と d が、求めたい値になります。 def func3(X, a, b, c, d): # 3次式近似 Y = a + b * X + c * X ** 2 + d * X ** 3 return Yさて、scipy.optimize.curve_fit を使って近似してみましょう。 from scipy.optimize import curve_fit popt, pcov = curve_fit(func3,x_observed,y_observed) # poptは最適推定値、pcovは共分散 popt array([ 7.84214107e+01, 1.88213104e+00, -1.74165777e-02, 3.89638087e-05])ここで得られた popt が最適推定値を格納しています。Numpy.polyfit を使ったカーブフィッティング で得られた推定値と比較してみましょう。 次のようにすれば、最適推定値を用いた近似曲線が描けます。 func3(x_observed, 7.84214107e+01, 1.88213104e+00, -1.74165777e-02, 3.89638087e-05) array([ 93.97825188, 118.32181643, 126.93087413, 136.59795028, 135.72770915, 132.27386543, 127.62777811, 122.02323006, 115.69400413, 108.87388316, 101.79665001, 94.69608754, 87.80597859, 81.36010602, 75.59225267, 70.73620141, 67.02573508, 64.69463654, 63.97668864, 65.10567422, 92.76660851, 106.63700433, 123.75703075]) 何次式になっても使える汎用的な関数を作りたい今まで１次式、２次式、３次式と別々の関数を作りましたが、これだと面倒すぎるので、何次式になっても使える汎用的な関数を作りましょう。何次式に近似するかはパラメータの数で自動的に判定するようにします。 import numpy as np def func(X, *params): Y = np.zeros_like(X) for i, param in enumerate(params): Y = Y + np.array(param * X ** i) return Y次の２つのコードを実行して、上記の func2 による計算結果と、func3 による計算結果と同じであることを確認しましょう。 func(x_observed, 1.39787684e+02, -4.07809516e-01, 7.97183226e-04) array([136.1819702 , 128.9940092 , 125.44205497, 118.81645644, 110.07383349, 107.47849913, 105.04260142, 102.76614035, 100.64911593, 98.69152815, 96.89337701, 95.25466253, 93.77538468, 92.45554348, 91.29513893, 90.29417102, 89.45263976, 88.77054514, 88.24788717, 87.88466585, 88.02614699, 88.46010889, 89.05350743]) func(x_observed, 7.84214107e+01, 1.88213104e+00, -1.74165777e-02, 3.89638087e-05) array([ 93.97825188, 118.32181643, 126.93087413, 136.59795028, 135.72770915, 132.27386543, 127.62777811, 122.02323006, 115.69400413, 108.87388316, 101.79665001, 94.69608754, 87.80597859, 81.36010602, 75.59225267, 70.73620141, 67.02573508, 64.69463654, 63.97668864, 65.10567422, 92.76660851, 106.63700433, 123.75703075]) 何次式になっても使える汎用的な関数による多項式近似ここまでくれば、何次式にでも多項式近似できます。ただし、パラメータの数を指定するために p0= で初期値を必要数だけ入力する必要が生じます。 from scipy.optimize import curve_fit popt, pcov = curve_fit(func,x_observed,y_observed, p0=[1, 1]) popt array([125.77023172, -0.1605313 ]) from scipy.optimize import curve_fit popt, pcov = curve_fit(func,x_observed,y_observed, p0=[1, 1, 1]) popt array([ 1.39787684e+02, -4.07809516e-01, 7.97183226e-04]) from scipy.optimize import curve_fit popt, pcov = curve_fit(func,x_observed,y_observed, p0=[1, 1, 1, 1]) popt array([ 7.84214107e+01, 1.88213104e+00, -1.74165777e-02, 3.89638087e-05]) from scipy.optimize import curve_fit popt, pcov = curve_fit(func,x_observed,y_observed, p0=[1, 1, 1, 1, 1]) popt array([-7.54495613e+01, 1.13179580e+01, -1.50591743e-01, 7.02970546e-04, -1.07313869e-06]) Numpy.polyfit を使ったカーブフィッティングとの比較上記の計算結果を、Numpy.polyfit を使ったカーブフィッティング で得られた推定値と比較してみましょう。 Numpy.polyfit は、多項式近似するだけなら、便利で使いやすいですが、多項式近似しかできません。もっと他の関数で近似したい場合は、scipy.optimize.curve_fit の使い方を理解するのが良いでしょう。 少ない観測値を補間してから、正規分布の線形和で近似する少ない観測値を補間してから、正規分布の線形和で近似する では、scipy.optimize.curve_fitを使って、正規分布（ガウス関数）の線形和で近似する方法について記述していますが、ここで説明した scipy.optimize.curve_fit の使い方を踏まえれば、理解が容易になるのではないかと期待します。 |
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