-配合图/六边形记忆！看完文章应该基本上就知道我图啥意思了。

-敲公式太麻烦了，直接发图好了。公式主要看1,3。2跟这个主题不太相关，反函数都是涉及一些有理多项式啥的（回头单独整理），积分都是分部一下就差不多了（没啥记的必要）

-六边形上，从中间分开，左边从上往下是cos，cot，csc（都是c开头的），右边是sin，tan，sec（非c开头的）。然后把端点连线，然后出现三个倒着的三角形，中心点是“1”。初等变换上的性质就是这仨三角形头顶两个端点的平方和是下面的平方（重的一头在下面），六个端点中互相对着的两个点互为倒数，隔着一个点的两点他们的乘积等于中间的那个点，然后看六条边，上下边对应的两点乘积可以化为2倍角，左右的四条边对应的两点乘积不可再简化了。双曲函数对应的六边形基本上也是同理，不同点是重头在左上角。这是比较基本的内容。这篇文章主要说说其导数和不定积分咋配合六边形形象记忆。

-sin，cos，sh，ch没啥记的必要，拿六边形记反倒麻烦。

-本文收录了形式比较全的不定积分的形式（尤其是sec，csc，sech，csch这几个）。如有其它比较简单的原函数形式没收录的可以告诉我（有些比如涉及到arsh之类的，自己展开下具体形式就行了）。

-关于双曲函数的说明：shx，chx的形式就不赘述了。四个反双曲需要记得下：arshx=ln(x+√(x^2+1))，archx=ln(x+√(x^2-1))，arthx=1/2ln((1+x)/(1-x))，arcthx=1/2*ln((x+1)/(x-1))。注意定义域：arsh是R，arch需要≥1，arth需要绝对值1。arth和arcth合并起来就是1/2ln|(1+x)/(1-x)|（加了个绝对值，ln里面的俩分式写成arth的那种加减顺序还是arcth那种都无所谓，反正有绝对值），定义域是绝对值不为1。我们有时需要这个合并起来的函数来统一一些东西，我们私底下记为ar(c)th x。

-记号问题：sh也有写作sinh的，ch-cosh，cth-coth，th-tanh。三角函数的反函数前缀是arc，双曲函数的反函数前缀是ar。

-把这个统一记忆清楚后主要是有助于不定积分的换元法。

-好了，现在可以开始正文了…

-导数部分：

-tanx/thx，cotx/cthx的导数是“下滑”的下面的函数的平方，区别是加不加负号。只需注意到右侧的这边不加负号，左边的要加。

-secx的导数是本身乘上一个“上滑”的上面的函数tanx（注意这四个只有他不加负号），剩下的sechx，cscx，cschx都是本身乘上“上滑”的函数，然后都要加负号。记住只有secx特殊就行。

-不定积分部分：

-tanx的积分，是-ln|·|（作用）一下他“斜上角”的cosx（隔着一个，上面方向。这种位置关系不大好描述，自己看图体会即可）（注意只有tanx加负号），剩下的thx，cotx，cthx同理ln|·|（作用）一下斜对角的函数即可。

-接下来就是重头戏了，剩下这四个函数不定积分均有好几个形式，比较麻烦。

-这里用（）进行同步叙述：先看secx（sechx），其积分就是arsh（arcsin）一下上面的tanx（thx），也可以arth（arctan）一下再上面的sinx（shx）。这两种可以用同一个六边形记。然后我们再“新建”一个六边形，sec（sech）那里写着secx（sechx），tan（th）那里写着半角tan x/2（th x/2），然后secx（sechx）的积分就是对上面的半角进行一下2ar(c)th（2arctan）即可（这里我们用到了私底下的函数记号ar(c)th以统一形式）。然后我们关注到实数域内，三角和双曲各有一个特质：三角有周期性，双曲可以用e^x“具象化”。故而secx通过周期性从cscx那里“偷来”了一个积分：ln|tan(x/2+pi/4)|，sechx因为可以具象化，就多出来一个积分：2arctan e^x。然后secx因为一些求导正负号的问题多出来一个积分 ln|他自己+他上面的tanx|（为啥说因为求导正负号问题呢？你把这个原函数求导下发现能消下去一个式子，但你把里面的三角函数换成双曲函数，就发现这个式子没法消，一个加一个减消不下去）（归根结底，就是因为secx求导不带负号从而和tanx同号可以消这个相加的式子，sech带负号和thx不同号，所以消不掉那个相加的分母）。记住secx有五个形式（俩+一个半角+偷来的+同号能消式子的），sechx有四个（俩+一个半角+具象成e^x的）。

-然后关注cscx和cschx。cscx（cschx）可以去找上面的cotx（cthx）用ln|他自己-他上面|作用一下，或者也可以用-ln|他自己+他上面|作用一下（因为平方差为1or-1，用一下那个之前说的“重头”即可。这要么加要么减的俩积分是一个东西基本上），然后也可以找更上面的cosx（chx）用-arth（-arcth）作用一下出来一个积分（统一用ar(c)th作用一下也可以，然后明显cosx绝对值小于一，chx绝对值大于1就知道是arth还是arcth了）。然后“新建”一个六边形，关注csc（csch）（一倍角）和tan（th）（半角）的位置，cscx（cschx）积分，只需把正切半角ln|·|作用一下即可。数一下：cscx和cschx都是四个形式（他上面的两个同形式的，再上面的一个，正切半角的一个）。