克拉美罗下界实际上是对无偏估计量给出了方差的下界，也就是说，只要你使用无偏估计，方差一定大于等于CRLB，在满足某些条件的时候可以等于。但是要注意，方差大于CRLB的条件一定是无偏估计，如果是有偏估计方差是可以更小的，比如说最大似然法，贝叶斯估计等。

正则条件：

推导： E [ ∂ ln ⁡ p ( x ; θ ) ∂ θ ] = ∫ ∂ ln ⁡ p ( x ; θ ) ∂ θ p ( x ; θ ) d x = ∫ ∂ p ( x ; θ ) ∂ θ d x = ∂ ∂ θ ∫ p ( x ; θ ) d x = ∂ 1 ∂ θ = 0 \begin{aligned}E\left[\frac{\partial \ln p(\mathbf{x} ; \theta)}{\partial \theta}\right]= \int \frac{\partial \ln p(\mathbf{x} ; \theta)}{\partial \theta} p(\mathbf{x} ; \theta) d \mathbf{x} &=\int \frac{\partial p(\mathbf{x} ; \theta)}{\partial \theta} d \mathbf{x} \\ &=\frac{\partial}{\partial \theta} \int p(\mathbf{x} ; \theta) d \mathbf{x} \\ &=\frac{\partial 1}{\partial \theta} \\ &=0 \end{aligned} E[∂θ∂lnp(x;θ)​]=∫∂θ∂lnp(x;θ)​p(x;θ)dx​=∫∂θ∂p(x;θ)​dx=∂θ∂​∫p(x;θ)dx=∂θ∂1​=0​ 求期望实际上就是对x求积分，所以左边两个表达式相等，注意这个概念，很多地方都需要这样来化简期望的。乍一看好像所有的PDF都应该满足上面的正则表达式才对，其实不是的，我们在运算的过程中忽略了一个很重要的前提——求偏导和积分可以互换，这就是正则条件的核心。这说明了x的PDF非零边界是和 θ \theta θ 无关的，也就是积分上下限不含 θ \theta θ，举个例子， U [ − θ , θ ] U[-\theta,\theta] U[−θ,θ]很明显就不满足正则条件，因为此时积分和求偏导的顺序不可以交换。

CRLB结论：

最佳无偏估计量 设为 g(x),则有：

这样的话，我们想要求最佳无偏估计量，只需要求 ∂ ln ⁡ p ( x ; θ ) ∂ θ \frac{\partial \ln p(\mathbf{x} ; \theta)}{\partial \theta} ∂θ∂lnp(x;θ)​， 然后将其化简成一个只含有 θ \theta θ 的 I ( θ ) I(\theta) I(θ)乘上一个只含有x的函数与 θ \theta θ的差。

证明 var ⁡ ( α ^ ) ⩾ ( ∂ g ( θ ) ∂ θ ) 2 − E [ ∂ 2 ln ⁡ p ( x ; θ ) ∂ θ 2 ] \operatorname{var}(\hat{\alpha}) \geqslant \frac{\left(\frac{\partial g(\theta)}{\partial \theta}\right)^{2}}{-E\left[\frac{\partial^{2} \ln p(\mathbf{x} ; \theta)}{\partial \theta^{2}}\right]} var(α^)⩾−E[∂θ2∂2lnp(x;θ)​](∂θ∂g(θ)​)2​ 你可能不明白为什么在上面我们看到的CRLB明明分子是1，这里就变成了一阶偏导的平方。其实这是因为最开始估计的是 θ \theta θ，但是这里估计的是 θ \theta θ的函数 g ( θ ) g(\theta) g(θ)，如果你令 g ( θ ) g(\theta) g(θ)= θ \theta θ，上面是不是变成了1 ？现在这个式子更符合一般情况明白了吧。

-假设我们要估计 α \alpha α， α \alpha α是 θ \theta θ的函数，我们用 g ( θ ) g(\theta) g(θ)表示，由于是无偏估计，那么估计量 α ^ \hat{\alpha} α^的均值等于 α \alpha α，即有：

化简有：

公式太难打了，我就解释标量了，矢量更复杂。