博客中所有内容均来源于自己学习过程中积累的经验以及对yalmip官方文档的翻译：https://yalmip.github.io/tutorials/

上文简单介绍了sdpvar函数的用法，接下来将对其进行详细介绍。复习一下，sdpvar函数的基本语法如下：

        该命令用于定义一个n阶的对称变量方阵，当n=1时，也就相当于定义一个标量；

        该命令用于定义一个n行m列的变量矩阵，当n=m时，默认该变量矩阵具有对称性，也就是说，如果使用sdpvar定义了方阵x，则x(i,j) = x(j,i)，例如，定义一个3行3列决策变量P的语法如下：

        这时候变量P默认为一个对称矩阵，也就是P(1,2) = P(2,1)，P(1,3) = P(3,1)，P(2,3) = P(3,2)。

        sdpvar函数的第三个参数用于初始化变量的性质，例如需要定义一个不对称的变量P，则需要将第三个参数设置为'full'，语法如下：

在定义n阶变量方阵时，其他可使用的'type'参数如表1所示：

表1 sdpvar函数中常用的'type'参数

'type'参数

简化表示

含义

'full'

'f'

完整的不对称变量矩阵

'symmetric'

'sy'

对称变量矩阵

'diagonal'

/

对角阵

'toeplitz'

't'

对称托普利茨矩阵

'hankel'

/

非对称hankel矩阵

'rhankel'

/

对称hankel矩阵

'skew'

'sk'

反对称矩阵

'Hermitian'

/

hermitian矩阵

        sdpvar函数中的第四个参数'field'可用于定义复数变量矩阵。不输入任何参数时默认是实数变量矩阵，当需要定义复数矩阵时，可以添加参数'complex'，形式如下：

        上面的语句就表示定义了一个3阶不对称的复数变量方阵。

        该语句表示定义一个标量x（也可以理解为1行1列的变量），也可以同时定义多个标量，语句如下：

        上述语句就表示定义了5个不同的标量a,b,c,d,e。

        综上，在Yalmip工具箱中一共有三种不同的方式定义标量，分别如下：

        三个语句的作用完全一样，可以按照自身的使用习惯进行选择。对于二维变量，也可以通过这种方式进行定义，但根据官方文档所述，这种方式可能存在bug，建议谨慎使用：

        上述代码表示定义一个2行2列的变量a。

        对于三维以上的变量，Yalmip工具箱可以有两种不同的建模方式（当然还有简单的一种，将多维变量转为低维变量，例如2×3×4的三维变量可以转为2×12的二维变量，也可以转为1×24的一维变量，这里不再赘述），元胞数组和多维sdpvar对象，两种建模方式分别如下：

        ①定义元胞类型(cell)的sdpvar变量

        假设需要定义一个5×20×80的变量M，使用cell定义的方法为：

也可以写成：

        两种定义方式是等价的。

        使用cell格式定义多维变量比较方便，但缺点是无法使用一些常用的数学运算函数，例如下面的代码将会报错：

        更高维度的变量也可以采用相同的方式进行定义，例如下面的代码就是定义了一个5×5×10×20的变量L：

        需要主义的是，因为变量L前两个维度是相同的，按照之前的说明，前两个维度始终是对称的，为了定义一个不对称的变量L，也需要添加参数'full'：

        这样就可以保证L的前两个维度不是对称的。

        binvar和sdpvar的语法完全一样，唯一不同的就是使用binvar定义的变量是0-1变量，也就是取值要么为0，要么为1。在实际的优化问题中很多变量都可以建模为0-1变量，例如仓库选址、配电网的支路状态等。同时，对于约束条件中的逻辑“或”的关系，也可以通过0-1变量进行建模（这实际上是线性规划的知识，我在这里只做简单介绍）。下面举两个例子：

变量x，y满足：4x + 3y ≤ 50  (1) 或x + y ≤ 20  (2)

        对于例1的约束条件，可以通过引入一个0-1变量w和一个足够大的正数M进行建模(实际上这就是常说的大M法)，建模方式如下：