2023数分Day80(二重积分3:极坐标变换) |
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一、需要复习到位的 1、极坐标变换的理念,x、y→r,θ的范围如何取? 2、熟悉单位圆等话语的内涵(暗含r,θ的范围) 3、复习辅助角公式(在南大那题有很大用处) 辅助角公式注:辅助角公式中,后面那个角相对于tan的关系:去看这里是化成sin还是cos, 如果化成sin,就让sinx前面的系数a做分母; 如果化成cos,就让cosx前面的系数b做分母; 4、直角坐标与极坐标之间转换(正向、逆向都要会,西南财经大学那题中有所涉及) 二、具体题目 1(南大)由单位圆,联想到做极坐标变换;计算Jacobi行列式;代入f(a,b),凑出a^2+b^2形式,利用某个定积分的性质(day74习题3结论)化简。这个结论记住它,直接用。 补充:这个结论是课本p185(课后习题第4题,19.1) Remark:这里我有一个疑问:θ范围为啥是【0,2π】,而非【0,2π)? 解答:一个点不会影响积分值的,一般写成闭区间【0,2π】就行了。 2(山东大学)出现x^2+y^2,区域A又涉及圆环,自然想到使用极坐标变换;写清楚r,θ范围及|J|.计算积分即可。 3(大连理工)算面积,想到使用二重积分(此时被积函数为1)。 做法: ①、极坐标变换,写清楚r,θ范围及|J| (θ范围利用x≥0,y≥0;r范围利用题干等式) ②、算积分,其中涉及到很多技巧,化简,以及三角函数相关知识,可以借助此题好好领悟。 4(西南财大)逆向出题,给极坐标系,通过化成直角系做题。 做法: ①、确定r,θ范围。观察被积函数,r是|J|,提出来;rsinθ就是y。 ②、算积分就可以了。 注:最后的那个积分有一点难算,要利用到三角换元,具体过程如下。 Remark:学习完day81,对Wallis公式有一定熟悉之后,这里对于(cosx)^4在0-π/2上的定积分值即为3/16*(π)是很容易出来的,就不需要这样一步一步降次来算了。 |
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