另一个是：

它是由所有可能的自然数集合形成的，一些自然数的集合是：

以上的所有集合，以及其他任何自然数的集合，都是S中的元素。因此S是集合的集合，7不是S中的元素，但是{7}是。S是一个非常大的集合，不仅是无限集，而且比自然数集N大得多得多。我们没有办法把自然数集中的元素与S中的元素一一匹配（一一对应）。我们说N是可数集，而S是不可数集。事实上，S具有连续统的基数（cardinality of the continuum），因为S可以和实数一一对应（连续统的基数是实数集合的基数或“大小”）。自然数基数的符号是：

连续统的基数，或实数的基数是：

所以，

现在我们有两个无限的基数，我们想知道是否有介于两者之间的东西。是否存在集合X既不能与S一一对应也不能与N一一对应？这就是著名的连续统假设。

具体来说，可数集合指的是可以一一对应于自然数集合的集合，例如正整数集合、有理数集合等。而实数集合则是一个无限的、不可数的集合，其中包含了所有的实数。连续统假设表明，不存在大小介于这两个集合之间的集合。换句话说，实数集合的大小是最小的不可数集合，任何介于可数集合和实数集合之间的集合都不存在。

让我们来看看定义这种集合的一些方法，并探讨一下他们的大小。

从现在开始，每当我说“集合”时，我指的是一个自然数集；每当我说“集合族”时，我指的是自然数集合的集合。集以自然数为元素，而族以自然数的集合为元素。N是一个集合，S是一个族。这里还有一些例子。

假设有一个集合族，其中每两个集合都是不相交的（它们没有共同的元素）。这样的族能有多大？它可以是无限的。很明显，这个集合也是可数的，它很容易与自然数一一对应。所以它是无限大的，但还没有大到大于N。

我们能不能想出一个这样一个不相交的集合族，它不能与N一一对应？答案是否定的。任何这样的族都是可数的。

注意，我们没有观察某个特定的集合族，并想知道它是否具有中等大小。相反，我们定义了这种族的某种性质（不相交的），然后我们询问这样的族的最大值是否既不可数又小于

还有一个更有趣的挑战。假设两个集合（几乎）是不相交的，即它们只有有限个相同的数。例如，质数集与偶数集几乎不相交，它们只有一个共同的元素2。同样，大于1000的数集与小于万亿的数集几乎是不相交的。

现在，如果集合族中的任意两个集合几乎不相交，那么族可以有多大？

一个简单的想法是考虑所有有限集的族。这似乎是一个相当大的族，当然它的任何两个成员几乎是不相交的（因为它们都是有限的）。这个族有多大？，再一次，它仅仅是可数的。

再进一步！

有一个集合族C，其中C中的任意两个集合几乎是不相交的，而且C是不可数的。这个C族实际上是如此之大，以至于它具有连续统的基数（与实数集的元素一样多）。所以再一次地，几乎不相交集合的最大族不具有中间基数。

最后，让我们考虑集合族的另一个性质。如果我从集合族中选取任意两个集合，其中一个包含在另一个中，这样的族被称为链或塔，它可以有多大？例如，我们可以考虑下面的集合族：{所有的自然数，所有大于0的自然数，所有大于1的自然数，所有大于2的自然数，……}。这是一个无穷集合族，很明显，如果你选择其中的任何两个，你会发现其中一个包含在另一个中。这个族有多大？我可以告诉你，它是可数的。

但是，我们能找到一个具有连续统基数的“链”吗？这个留个读者思考。

在康托提出连续统假设和保罗·科恩伟大的独立证明之间的日子里，人们提出了各种各样的奇特的族。有时这些族的基数是

有时是

有时我们无法判断。有时可以证明它们之间的相对关系，比如“这个基数并不比那个基数大，尽管它们可能相等。这就产生了下面的图：

图片中的N_1（实际上不是N，而是读作Aleph）表示比N_0大的基数，康托的连续统假设等价于：

上图中的所有基数c、a、i、u、p等都是不可数基数，这意味着它们都比N_0大，至少和N_1一样大。N_1是最小的不可数基数，它可能等于实数的基数：

也可能不等于，这需要证明。

在保罗·科恩（Paul Cohen）发明“强迫（forcing）”技术之后的日子里，人们开始用“强迫”来表明那些问题是不可回答的，也就是说，某些集合的宇宙提供一个答案，而其他集合宇宙提供另一个答案。例如，Shelah在2004年证明了，

但其中一些基数拒绝做以下任何努力:表明它们必须是相同的，表明它们必须是不同的，表明这些问题独立于ZFC，等等。事实上，人们对许多基数人一无所知。

Malliaris和Shelah出乎意料地成功解决了上图中基数p和t的问题，现在我们终于可以对它们进行解释了。

我们之前介绍了几乎不相交集合族。我们可以用其他方式扩展这个“几乎”的概念：例如，我们可以说集合A“几乎被包含”于集合B中，如果A的每个成员（除了可能有有限多个例外）都是B的成员。例如，数列1，2，4，8，16，…几乎被包含于偶数集合中，质数几乎被包含于与6互质的数集合中。

如果一个集合族中包含一个无限集合，且几乎所有该族的成员集合都包含这个无限集合，那么我们称这个集合族具有一个线索（thread）。例如，以质数集合为线索，想象一个集合族，其中几乎所有的成员集合都包含了所有的质数（可能会漏掉一些有限的质数），以及其他各种数字。这样的一个集合族将拥有质数作为线索。如果一个集合族没有线索，则称之为线索缺失（threadless）。

现在考虑无穷集合的无穷族的下列性质：

现在我们要求，具有性质P的族的最小可能大小，我们称之为

类似地，具有性质T的族的最小可能基数为

它们与上图中出现的p和t相同。

这些基数已经存在很长时间了。人们似乎对我们可以解决它们之间的关系失去了信心，因为这个领域里的很多东西都是独立于标准数学公理的，甚至证明这种独立性对于剩下的问题来说也变得越来越难。如果有什么不同的话，很多人（包括Shelah）都期望p＜t。

早在1934年，Hausdorff就证明了

这意味着没有可数族可以有性质P，所以这样一个族的最小可能基数必须是不可数的。Rothberger在1948年证明，如果

那么

但此后几乎70年都没有发生实质性的进展，直到Malliaris和Shelah证明了，在任何条件下都有：

不管它们的值可能是什么假设，也不管任何基本的公理问题。这些基数是相同的。

来自：老胡科学返回搜狐，查看更多