这篇文章是关于 copulas 和重尾的。在全球金融危机之前，许多投资者是多元化的。 看看下面这张熟悉的图：

黑线是近似正态的。红线代表Cauchy分布，它是具有一个自由度的T分布的一个特殊情况。也许是因为Cauchy和t分布混在一起。我们总是可以计算出经验方差。请看下图。这是对1自由度的t分布（红色的Cauchy分布）和5自由度的t分布（蓝色）的模拟结果。

为了比较不同的尾部行为，我们有我们所谓的尾部指数。简而言之，在几乎任何分布中，某个阈值之后的观测值（比如说最差的5%的情况下的观测值）都是渐进式的帕累托分布。

其中x_m是截止点，α将决定尾巴的形状。α也被称为尾部指数。

现在大家都知道，金融收益呈现出厚尾。这使得保持投资组合为左尾事件做好准备变得更加重要，因为在那个区域，由于相关性的增加，你会同时受到所有资产的影响（正如金融危机所证明的那样）。在这个讨论中，copulas发挥了重要的作用。copulas的概念是相当巧妙的。copula这个词起源于拉丁语，它的意思是捆绑。当我们有两个（或更多）资产类别的收益，我们可以假设或模拟它们的分布。做完这些之后，我们可以把它们 "粘贴 "在一起，只对相关部分进行建模，而不考虑我们最初对它们各自分布的建模方式。怎么做？  

我们从英国统计学家 Ronald Fisher 开始，他在 1925 年证明了一个非常有用的性质，即任何连续随机变量的累积分布函数都是均匀分布的。形式上，对于任何随机变量 X，如果我们表示  作为 X 的累积分布，则 。请记住，当我们说  ，它仅意味着概率， 。这就是 [0,1] 的来源，因为它只是一个概率。从三种不同的分布进行模拟：指数、伽玛和学生-t，变换它们并绘制直方图：

您可以通过这种方式转换任何连续分布。现在，将两个变换后的随机数表示为  和 . 我们可以将它们“绑定”（copula）： . 其中，  是一些函数，并且因为原始变量是“不可见的”（当我们将其转换为 Uniform 时消失了），所以我们现在只讨论两个变量之间的相关性。例如  可以是具有一些相关参数的二元正态分布。我不会在这里写出双变量正态密度，但它只是一个密度，因此，它将说明在中心地带观察到两个变量在一起的概率，和/或在尾部一起的概率。这是绕过原始变量的分布，只谈相关结构的一种方式。

现在让我们对金融和消费必需品之间的相关结构进行建模。从拉取数据开始：