【数学】连续,一致连续,Hölder连续,Lipschitz连续 |
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前言
常常搞不清楚几个概念,自己写一写有助于记忆和理解,水平有限,欢迎大家批评指正~ 1 连续个人理解,连续是个局部的概念,一般说函数在某一点x0处,满足那样一个性质,就说这个函数在x0连续。 同济第七版的定义是这样的: 此外,在区间上连续是这么说的: “如果在区间上每一点都连续,就称函数在该区间上连续,如果区间包括端点,那么在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续。”(同济第七版) 一个解释很清楚的理解:https://zhuanlan.zhihu.com/p/87984703. 2 一致连续
也就是说,不论在区间I的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度,相应的函数值就可以达到指定的接近程度。 这个一定程度对全体区间上的点都奏效。 举个栗子: f(x)=1/x 在(0,1]上连续,但不一致连续。 问题出在靠近0的地方,取x1 = 1/n, x2 = 1/(n+1), x1,x2之间的距离随着n增大越来越小,但两函数值始终相差1。 不严谨的说,不一致连续是因为函数在区间上有斜率趋于无穷的地方。 3 Hölder连续百度百科上的定义: 定义:对函数 f ( x ) : R → R f(x): R \to R f(x):R→R 存在常数 K K K,s.t. ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ≤ K ∣ x 1 − x 2 ∣ |f(x_1)-f(x_2)| \leq K|x_1-x_2| ∣f(x1)−f(x2)∣≤K∣x1−x2∣ 5 关系1 连续与一致连续: 一致连续性定理:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么它在该区间上一致连续。 2 Lipschitz连续与一致连续: Lipschitz :要求函数斜率或变化幅度有界,即小于一个常数; 一致连续:要求函数斜率或变化幅度有限,即不趋于无穷; 因此Lipschitz连续更强; eg. [0,1]区间上 y = x 1 2 y= x^{\frac{1}{2}} y=x21 : 在0点处不满足Lipschitz连续,但满足一致连续 3 Hölder连续弱于Lipschitz连续; |
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