柯西-施瓦茨不等式其实是有四种不同的形式的，如果只知道其中一种，看论文的时候肯定会陷入迷惑，下面我们来看看柯西-施瓦茨不等式的四种形式：

设   a i , b i ∈ R   ( i = 1 , 2 , . . , n ) \ a_i,b_i\in R\ (i=1,2,..,n)  ai​,bi​∈R (i=1,2,..,n)，则 ( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 ≤ ∑ i = 1 n a i 2 ∑ i = 1 n b i 2 (\sum_{i=1}^na_ib_i)^2\le\sum_{i=1}^na_i^2\sum_{i=1}^nb_i^2 (i=1∑n​ai​bi​)2≤i=1∑n​ai2​i=1∑n​bi2​

当且仅当 b 1 a 1 = b 2 a 2 = . . . = b n a n \frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=...=\frac{b_n}{a_n} a1​b1​​=a2​b2​​=...=an​bn​​ 不等式符号成立

对于欧式空间中任意向量 α , β \alpha, \beta α,β 有 ( α , β ) 2 ≤ ( α , α ) ( β , β ) (\alpha,\beta)^2\le (\alpha,\alpha)(\beta,\beta) (α,β)2≤(α,α)(β,β)

其中定义 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β) 是向量 α , β \alpha, \beta α,β 的内积

当且仅当 α , β \alpha,\beta α,β 线性相关时，等号才成立

积分：

设 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积，则 [ ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ] 2 ≤ ∫ a b f 2 ( x ) d x ∫ a b g 2 ( x ) d x [\int_a^bf(x)g(x)dx]^2\le\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx [∫ab​f(x)g(x)dx]2≤∫ab​f2(x)dx∫ab​g2(x)dx

级数：

若级数 ∑ a n 2 \sum a_n^2 ∑an2​ 和 ∑ b n 2 \sum b_n^2 ∑bn2​ 收敛，则级数 ∑ a n b n \sum a_nb_n ∑an​bn​ 收敛，且 ( ∑ a n b n ) 2 ≤ ∑ a n 2 ∑ b n 2 (\sum a_nb_n)^2\le\sum a_n^2\sum b_n^2 (∑an​bn​)2≤∑an2​∑bn2​

设 ξ , η \xi,\eta ξ,η 为任意随机变量，若 E ( ξ 2 ) , E ( η 2 ) E(\xi^2),E(\eta^2) E(ξ2),E(η2) 存在，则 E ( ξ η ) E(\xi\eta) E(ξη) 也存在

且 [ E ( ξ η ) ] 2 ≤ E ( ξ 2 ) E ( η 2 ) [E(\xi\eta)]^2\le E(\xi^2)E(\eta^2) [E(ξη)]2≤E(ξ2)E(η2) 等号成立当且仅当存在常数 t 0 t_0 t0​，使得 P { η = t 0 ξ } = 1 P\{\eta=t_0\xi\}=1 P{η=t0​ξ}=1