在数学中，柯西序列、柯西列、柯西数列（英語：Cauchy sequence），也称为基本列，是指一个元素随着序数的增加而愈发靠近的数列，[註 1]以数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名。

柯西列的定义依赖于距离的定义，所以只有在度量空间中柯西列才有意义。在更一般的一致空间中，可以定义更为抽象的柯西滤子和柯西网。

柯西列一个重要性质是，在完备空间中，所有的柯西数列都有极限且极限在这空间里，这就让人们可以在不求出这个极限（如果存在）的情况下，利用柯西列的判别法则证明该数列的极限是存在的。柯西列在构造具有完备性的代数结构的过程中也有重要价值，如构造实数。

一个复数序列

被称为柯西列，如果对于任何正实数 r > 0 {\displaystyle r>0} ，存在一个正整数 N {\displaystyle N} 使得对于所有的整数 m , n ≥ N {\displaystyle m,n\geq N} ，都有

这个数列趋于 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ，但 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 不属于 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ，因此这个数列不收敛。

一个度量空间 X {\displaystyle X} 中的所有柯西數列都會收斂到 X {\displaystyle X} 中的一點 ，那么 X {\displaystyle X} 被称为是一个完备空间。

实数是完备的，而且标准的实数构造包含有理数的柯西列。

有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 在通常定义的距离意义下不是完备的：

存在某个由有理数组成的序列，收敛到某个无理数，所以這數列在有理数這空間是不收敛的。

例如：

任何收敛數列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。

如果 f : M → N {\displaystyle f\colon M\rightarrow N} 是一个由度量空间 M {\displaystyle M} 到度量空间 N {\displaystyle N} 的一致连续的映射，并且 { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} 是 M {\displaystyle M} 中的柯西列，那么 { f ( x n ) } {\displaystyle \{f(x_{n})\}} 也必然是 N {\displaystyle N} 中的柯西列。

如果 { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} 和 { y n } {\displaystyle \{y_{n}\}} 是有理数、实数或复数构成的柯西列，那么 { x n + y n } {\displaystyle \{x_{n}+y_{n}\}} 和 { x n y n } {\displaystyle \{x_{n}y_{n}\}} 也是柯西列。

在一个拓扑向量空间 X {\displaystyle X} 中同样可以定义一个柯西列：在 X {\displaystyle X} 选择一个 0 {\displaystyle 0} 局部基 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} ，如果对于 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 中的任何元素 V {\displaystyle V} ，存在一个正整数 N {\displaystyle N} 使得对于任意的 m , n > N {\displaystyle m,n>N} 而言，序列 { x k } {\displaystyle \{x_{k}\}} 满足 x m − x n ∈ V {\displaystyle x_{m}-x_{n}\in V} ，那么这个序列就称为一个柯西列。

如果这个拓扑向量空间 X {\displaystyle X} 上有恰好可以引入一个平移不变度量 d {\displaystyle d} ，那么上述方法定义的柯西列和利用这个度量 d {\displaystyle d} 定义的柯西列是等价的。

在一个群中，同样可以定义柯西列：

命 H = { H r } {\displaystyle H=\{H_{r}\}} 表示一列有限指标的递减的 G {\displaystyle G} 的正规子群，那么群 G {\displaystyle G} 中一个序列 { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} 称为柯西列（对于上述 H {\displaystyle H} 而言），当且仅当对于任意的 r {\displaystyle r} ，存在正整数 N {\displaystyle N} 使得对于任意的 m , n > N {\displaystyle m,n>N} ，都有 x m x n − 1 ∈ H {\displaystyle x_{m}x_{n}^{-1}\in H} 。

如果用 C {\displaystyle C} 表示所有的这样定义的柯西列组成的集合，那么 C {\displaystyle C} 在序列点点相乘的意义下构成一个新的群。而且 C 0 {\displaystyle C_{0}} ，即所有空序列（对于任意 r {\displaystyle r} ，存在 N {\displaystyle N} 使得对于任意 n > N {\displaystyle n>N} ，都有 n ∈ H r {\displaystyle n\in H_{r}} ）构成了 C {\displaystyle C} 的正规子群。而商群 C / C 0 {\displaystyle C/C_{0}} 称为 G {\displaystyle G} 相对于 H {\displaystyle H} 的完备化。

可以证明，这个完备化同构与序列 { G / H 4 } {\displaystyle \{G/H_{4}\}} 的逆向极限（英语：inverse limit）同构。

如果 H {\displaystyle H} 是个共尾序列（即任何有限的正规子群均包含某个 H r {\displaystyle H_{r}} ），那么这个完备化在与 { G / H } H {\displaystyle \{G/H\}_{H}} 的逆极限同构的意义下是规范的，这里的 H {\displaystyle H} 跑遍所有有限的正规子群。