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18.2.2.1 菱形的性质【练基础】必备知识1 菱形的定义1.【教材P61T10变式】如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接EG，FH交于点O，则图中的菱形共有（ ）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个必备知识2 菱形的性质2.【2021河南中考】关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ）A.四条边相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形3.【石家庄期末】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴正半轴上，边BC在y轴上，若点B的坐标为(0，8)，点C的坐标为(0，-5)，则点D的坐标为（ ）A.(10，0) B.(11，0) C.(12，0) D.(13，0)4.【2022河南中考】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点.若OE=3，则菱形ABCD的周长为（ ）A.6 B.12 C.24 D.485.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=45°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长是（ ）A.4 B.4 C.2 D.26.【邯郸期末】如图，一块三角板放在一张菱形纸片上，斜边与菱形的一边平行，则∠1的度数是_______. 7.【张家口期末】如图，在周长为20的菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，AE=2，AF=3，P为对角线BD上一动点，连接PE，PF.则PE+PF的最小值为_______. 8.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F.求证：DE=DF.必备知识3 菱形的面积9.如图，木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成的，根据实际需要可调节A，E间的距离.已知菱形ABCD的边长为20 cm，当A，E间的距离调节到60 cm时，这个活动衣帽架所围成的面积为（ ）A.600 cm2 B.600 cm2 C.450 cm2 D.900 cm210.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积是（ ）A.18 B.18 C.36 D.3611.【教材P61习题18.2T11变式】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH.若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为_______. 【练能力】12.【合肥期末】数学兴趣小组受到赵爽弦图启发设计了如图所示的图形：其中四边形ABCD为菱形，△ADH，△CBF，△AEB，△CGD均为直角三角形.若AH=，DH=1，CG=2，则EF的长为_______. 13.如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC至点E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若DF=，则BD的长为________.(结果保留根号) 14.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE=BF，DE，DF分别与AC交于点M，N.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)ME=NF.【练素养】15.如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC=60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF=120°且边EF与直线DC相交于点F.(1)求菱形ABCD的面积.(2)求证：AE=EF.参考答案【练基础】1.B　2.B　3.C4.C　【解析】解法一　∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴△COD为直角三角形.∵OE=3，E为线段CD的中点，∴CD=2OE=6，∴菱形ABCD的周长为4CD=4×6=24.解法二　∵四边形ABCD为菱形，∴BO=OD，AB=BC=CD=DA，又∵E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴BC=2OE=6，∴菱形ABCD的周长为4BC=4×6=24.5.C　6.60°7.5　【解析】如图，∵四边形ABCD是菱形，周长为20，∴AD=5，∠ADB=∠CDB.在DC上取点G，使DG=2，连接EG交BD于点P，连接PF.∵AF=3，∴DF=AD-AF=2，∴DF=DG.在△DFP和△DGP中，∴△DFP≌△DGP，∴FP=GP，∴PE+PF=PE+GP=EG，此时PE+PF的值最小，最小值为EG的长.∵AE=DG=2，AE∥DG，∴四边形AEGD是平行四边形，∴EG=AD=5，即PE+PF的最小值为5.8.【证明】∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC=AD=DC，∠A=∠C.∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA=∠BFC=90°.在△ABE与△CBF中，∴△ABE≌△CBF(AAS)，∴AE=CF，∴AD-AE=DC-CF，即DE=DF.9.B　10.B　11.48【练能力】12.1　【解析】由△ADH，△CBF，△AEB，△CGD均为直角三角形，易得四边形EFGH是矩形，∴HG=EF.∵AH=，DH=1，∴AD==2.∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AD=2，∴DG==2，∴EF=HG=DG-DH=1.13.2　【解析】如图，连接AC，交BD于点H，由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°，AB∥CD，AC⊥BD，∴∠DCE=∠ABC=80°，∠DHC=90°.又∵∠ECM=30°，∴∠DCF=50°.∵DF⊥CM，所以∠CFD=90°，∴∠CDF=40°.又∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∴∠HDC=∠ADC=40°，∴∠HDC=∠FDC.在△CDH和△CDF中，∴△CDH≌△CDF，∴DH=DF=，∴DB=2DH=2.14.【证明】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴DA=DC，∠DAE=∠DCF，AB=CB.∵BE=BF，∴AE=CF.在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF.(2)由(1)知△ADE≌△CDF，∴∠ADM=∠CDN，DE=DF.∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAM=∠DCN.∵∠ADM=∠CDN，∴∠DMA=∠DNC，∴∠DMN=∠DNM，∴DM=DN，∴DE-DM=DF-DN，∴ME=NF.【练素养】15.【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AC⊥BD，且AO=CO，BO=DO.∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°.又∵AB=10，∠AOB=90°，∴CO=AO=AB=5，OD=OB==5，∴AC=2AO=10，BD=2BO=10，∴S菱形ABCD=AC·BD=×10×10=50.(2)证明：如图，连接EC，易知AE=CE.设∠AEO=α，易知∠CEO=α，∴∠CEF=120°-2α，∠ECF=∠DEC+∠EDC=α+30°，∴∠F=180°-∠ECF-∠CEF=30°+α，∴∠F=∠ECF，∴CE=EF，∴AE=EF.2

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