共轭复数,共轭根式,共轭矩阵,共轭方向,共轭方向法,共轭梯度法,共轭分布,共轭函数,傅里叶变换的共轭对称 |
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目录 1. 共轭复数 2. 傅里叶变换的共轭对称性 3. 共轭根式(radical conjugates) 4. 共轭矩阵(自共轭矩阵、Hermitian(埃尔米特)矩阵) 5. 共轭方向 6. 共轭方向法 7. 共轭梯度法 8. 共轭分布(conjugacy) 9. 共轭函数(对偶函数、极化函数) 共轭(conjugate )的概念在数学、物理、化学、地理等学科中都有出现。 本意:两头牛背上的架子称为轭,轭使两头牛同步行走。扩展到数学等领域,共轭即为按一定的规律相配的一对或一组。 在数学中常见的共轭有:共轭复数,共轭根式,共轭矩阵,共轭转置,共轭分布,共轭先验,共轭函数, 共轭方向,共轭方向法,共轭梯度 法。 我们在关注共轭时,主要关注共轭的配对规律,共轭的性质,以及取共轭可以带来什么样的数学或应用优势。 1. 共轭复数配对规律:在复数中,实部相等,虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数。 公式描述: 共轭性质:1)加和为实数 2)在复平面上,共轭复数所对应的点关于实轴对称 2. 傅里叶变换的共轭对称性说明:这里的共轭就是上面介绍的复数共轭,不是指傅里叶变换与傅里叶反变换是一对共轭。 定义: 配对规律:两个不等于零的根式A、B,若它们的积AB不含根式,则称A、B互为共轭根式。 共轭性质:通过相乘能把根式去掉。 描述:对根式的模式没有要求,只要满足配对规律的就都是共轭根式。 4. 共轭矩阵(自共轭矩阵、Hermitian(埃尔米特)矩阵)描述:一般共轭矩阵是一个复数矩阵,实对称阵是Hermite阵的特例。 配对规律:矩阵中第 公式描述:对于一个复数矩阵 若用 性质:1)主对角线上的元素全是实数。 2)若A 和B 是Hermite阵,那么它们的和A+B 也是Hermite阵 3)若A 和B 是Hermite阵,如果满足AB=BA,那么AB与BA也是Hermite阵 4)更多性质可参考《矩阵分析与应用(张贤达 第2版)》第101页。拥有很多很好的性质。 5. 共轭方向组配对规律:对于一组 描述:由定义可知,在高维空间中,一个方向向量的共轭方向不是唯一的,而是一组。 特例:当 性质:1)互为共轭的一组向量,线性无关 2) 描述:共轭方向法(conjugate direction method)一种沿着共轭方向寻找无约束最优化问题极小点的一类方法。 对于一个二次型函数 给定关于 以下是来自共轭方向法 的摘抄。 其中 描述:共轭梯度法可以看作一类特殊的共轭方向法,不同的是,共轭方向法在使用时需要预先定义好一组共轭方向向量。共轭梯度法克服这一缺点,共轭方向向量是随着迭代过程,当场生成下一次迭代的共轭方向。以下摘抄自:共轭梯度法 其中 配对规律:如果两个分布满足同样的分布律(形式相同,参数不同),那么这两个分布互称为共轭分布。 性质:分布的表达式相同,参数不同 描述:共轭分布概念通常出现在贝叶斯概率理论中,如果后验概率P(θ|X)和先验概率P(θ)满足同样的分布律(形式相同,参数不同)。那么,先验分布和后验分布被叫做共轭分布,同时,先验分布叫做似然函数的共轭先验(分布)。 9. 共轭函数(对偶函数、极化函数)定义:设函数 则函数 使 特点:无论原函数 性质:1)凸函数的共轭函数的共轭函数是原函数, 2)更多具体性质可参考《凸优化(王书宁 译)》第85页 相关:可微函数的共轭函数称为函数的Legendre变换。为了区分一般情况和可微情况下所定义的共轭,一般函数的共轭有时称为Fenchel共轭。
参考:[1] 连续时间傅里叶变换的共轭与共轭对称性(详细推导) [2]【机器学习之数学】02 梯度下降法、最速下降法、牛顿法、共轭方向法、拟牛顿法 [3]《凸优化(王书宁 译)》 [4]《最优化方法(赖炎连 贺国平 主编)》的第三章 |
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