主要内容

了解/理解

恒星是宇宙的基石，对于恒星的理解也是我们天文学的基石。

我们知道恒星是一个气体球，内部在进行核聚变，而外部是稀薄的大气。我们需要哪些参量来描述它呢？例如大小、密度、温度、质量等等。进一步，我们该如何去探讨它的内部结构呢？

【恒星内部物理】

我们了解恒星都是来自它的辐射。

首先，我们定义一些参量来尝试描述辐射。

（1）辐射强度可以表达为单位时间、单位立体角、单位波长（或频率）范围内，通过与辐射方向垂直的单位面积的光的能量：

I_{\lambda} 依赖于具体的位置、方向和频率。如果 I_{\lambda} 与方向无关，则辐射场称为各向同性辐射场；如果 I_{\lambda} 与位置无关,则辐射场是均匀的；如果 I_{\lambda} 与时间无关，则辐射场是稳定的。该量与到光源的距离无关。

（2）能量密度是单位体积内所包含的单位波长（频率）间隔的辐射能量，即辐射强度对方向的积分：

（3）辐射流量是单位时间在单位波长（频率）间隔内通过单位面积的净流量：

该量服从平方反比定律。

（4）辐射压强是单色辐射施于单位面积的压力：

以一定方向传播的辐射能E，在同一方向上携带着数量为E/c的动量，而压强是单位时间垂直通过单位面积的动量。

然后，利用发射与吸收可以建立辐射转移方程，进而研究辐射与介质的相互作用。

（1）光穿过介质时候的衰减遵循以下规律（包括吸收和散射）：

吸收系数 \kappa_{\lambda}是单位质量物质的吸收系数，又称为不透明度。人们将

定义为光深。

（2）介质不但会吸收辐射，还能够发射辐射。设经过一介质层ds后辐射强度增加了 dI_{\lambda}（包括发射和散射），那么

其中， j_{\lambda}为发射系数，代表了单位质量物质在单位时间、单位频率间隔和单位立体角内发射的能量。

因此，辐射强度的变化可以写为

如果我们把发射系数和吸收系数相除，我们会发现它的单位和辐射强度是一样的，并定义为源函数：

源函数表征了光在穿过介质的时候被介质替换掉的比例。

辐射转移方程可以表达为

那么辐射是怎样产生，在传播过程中又是怎样消耗的呢？我们从微观角度来探讨下辐射与介质相互作用，包括吸收、发射、散射过程。

（1）束缚—束缚跃迁：光致激发，原子吸收光子后从低能态跃迁到高能态。入射光子能量等于两能态能量差，产生谱线吸收。

（2）束缚—自由跃迁：光致电离，原子吸收光子后发生电离。入射光子能量等于电离能加上自由电子的动能，产生从某频率开始的连续谱吸收。

（3）自由—自由跃迁：轫致辐射，自由电子与离子碰撞时产生，电子能量减少时发射辐射，电子能量增加时吸收辐射。产生连续谱吸收。

（4）散射：光子与粒子发生碰撞，其方向和频率会发生变化。散射过程中光子数是守恒的，入射方向辐射强度减弱，但其它方向辐射强度增加。例如：光子在自由电子上的散射（汤姆孙散射和康普顿散射）、光子在束缚电荷上的散射（分子的瑞利散射，在晚型冷星大气中可以发生光子在分子上的长波散射）

（5）负氢离子：当温度在3000到6000 K之间，负氢离子的不透明度比较大。

将上述几项结合起来：

气体原子吸收了入射光子能量后，将从低能级跃迁至高能级。随后，可能发生两种不同的复合跃迁过程而从高能级返回低能级：

自发跃迁：激发原子自发从高能级跃迁回低能级，此时发射出的光子是各向同性的。

感应跃迁：激发原子在入射辐射的感应作用下发生复合，此时发射的光子与入射光子方向相同。

这些跃迁与温度是息息相关的。我们在这里定义一系列温度：

有效温度（斯蒂芬-玻尔兹曼定律）：

激发温度（玻尔兹曼方程）：

电离温度（萨哈方程）：

运动学温度（麦克斯韦-玻尔兹曼方程）：

色温度：拟合黑体谱

当后四个温度相同时，物质处于热动平衡；当温度在平均自由程中的变化可以忽略时，物质处于局部热动平衡。

如果不透明度 \kappa_{\lambda}与辐射波长无关，称为灰大气模型。在局部热动平衡条件下,得到灰大气温度分布为：

当\tau=2/3时，温度即有效温度。

气体内部的总压强主要由两部分组成：气体粒子运动产生的气体压强和光子产生的辐射压强（P_{\rm rad}=aT^4/3）。

气体可以分为两类：非简并气体和简并气体。前者可以用理想气体状态方程描述。在量子力学中，简并压是Pauli不相容原理（两个具有相同自旋的电子不能占据两个相同的量子态）和Heisenberg测不准原理（ΔxΔPx > h）导致的。

非简并气体（non-degenerate gas）：

经典气体压力：P_g= nkT= \rho kT/\mu m_H～ n^{5/3}h^2/m；T～ n^{2/3} ～ \rho^{2/3}

完全电离等离子体： P_g= ρkT(2X+3Y/4+Z/2)/ m_H；X/Y/Z分别代表H/He/重元素的百分比。

简并气体（degenerate gas）：

测不准原理：p（动量）～ hn^{1/3}

简并压：P_e=nvp （v：速度；p：动量）

电子简并条件：高密、低温。

（1）电子简并压：

相对论情形（v

CNO循环：

产能率与温度、密度、组成相关

恒星内部其它的聚变反应：

恒星内部聚变到铁结束，再聚变为更高的元素就需要吸热。 并不是说完全没有别的更重的核，而是说统计上很少。

*问题：pp—chain，CNO cycle，3aα反应分别指什么？它们主要进行在哪些温度范围？为什么会这样？相比今天的恒星，第一代恒星的燃烧过程会有怎样的不同？

*问题：为什么太阳中原子丰度随相对原子质量呈大致的锯齿状？除少数轻元素外，铁的含量最高，为什么？铁的结合能最大，是否意味着恒星的核聚变终止于铁呢？

*问题：恒星如何维持稳定的核燃烧而没有像氢弹一样剧烈地爆炸？

【恒星的结构与成分】

恒星内部辐射传输的计算遵循了：流体静力学平衡（重力和热压力的平衡；动量定理Euler方程）、质量连续（质量守恒）、能量守恒。

恒星内部的能量传输方式：辐射传热和对流。

辐射传热：恒星内部的冷物质通过吸收热区的光子而加热。假如恒星内部产生的能量全部由辐射向外传递，则称为辐射平衡。辐射平衡下的温度梯度为：

其中\kappa为不透明度系数。

对流：气体在冷热区域之间的大规模的循环流动。随着恒星内部的不透明度或产能率增大，辐射温度梯度值增大，辐射不再是传递能量的有效方式，或辐射平衡是不稳定的，这时在恒星内部产生对流。其过程为热气体循环上升，冷却后下沉，形成物质流动的循环和热量的传递。对流不仅传递能量，还起着混合物质的作用。

不透明度与内部产能率共同决定了温度梯度。如果实际（辐射）降温比膨胀降温更显著，则气泡温度高于周围温度，继续上浮，产生对流！

对于大质量星（M > 1.5—2 M_{\odot}），内部分为对流核区和辐射包层，核心区CNO循环核反应（\varepsilon \sim T^{20}），能量产生于很小的内核区，由于聚变强烈、产生能量多、辐射太强，导致辐射来不及传能，物质就被吹走形成对流。因此对流区在里面。能量传输到外部，气体膨胀能量密度减小，辐射可以传输出去，形成辐射包层。

对于低质量主序星（0.5 M_{\odot} < M < 1.5—2 M_{\odot}），内部分为辐射核区和对流包层，核心区PP链核反应（ \varepsilon \sim T^{4}），能量产生于较大的内核。包层温度降低，不透明度增大，产生对流。尤其当存在负氢离子时，不透明度特别大。

对于极低质量主序星（M < 0.5 M_{\odot}），恒星内部温度低，负氢离子特别多，整体对流。

*问题：能量传递有三种机制：传导、辐射、对流。为什么在恒星中，我们一般不考虑传导这一传热方式？请分析恒星中不同传递机制在什么情况下起主要作用，并说明原因。

*问题：不同质量的恒星内部结构有哪些区别？以质量为横轴，归一化半径（r/R）为纵轴，画出不同质量恒星对流区和辐射区的分界线的变化情况。

恒星结构方程组

假设恒星时球对称的（无磁场、无旋转），给定恒星的初始质量M和化学组成X、Y、Z，某一特定半径r出得球壳，满足：

基本方程：

（1）流体静力学平衡方程

（2）质量连续性方程

（3）能量守恒方程

（4）能量传输方程

辅助方程：

（5）物态方程

（6）不透明度公式

（7）产能率方程

*问题：描述恒星结构的基本方程和输入物理量，分析如何设定边界条件和初始条件。每一个方程的物理内涵是什么？

恒星的质量与光度之间存在关系：质量越大的恒星引力越大，流体静力学平衡要求内部压强越大，状态方程表明内部温度越高，产能率越高，光度越高。

主序星的质光关系为 L \sim M^{2-4}。推导：

由流体静力学平衡条件和理想气体状态方程颗给出恒星的内部温度为

由辐射转移方程给出光度和温度梯度的关系（完全辐射传能）

假定恒星内部不透明度 \kappa恒定，于是有

*问题：恒星如何形成质光关系？光度不严格正比于质量三次方受哪些物理因素的影响？指出这些因素如何变化会使指数＞3，如何变化会使指数＜3？

由恒星结构方程组，加上边界条件：

当r＝0 时（核心），M(0)＝0，L(0) = 0;

当r＝R 时（表面），M(R)＝M, T(R) = 0, P(R) = 0

可以得到：恒星的结构，即恒星从中心到表面不同半径r处的压强P、密度ρ、温度T、质量M、光度L、产能率ε、不透明度 κ。

Vogt-Russel定理：恒星的初始质量和化学组成能唯一确定它的半径、光度、内部结构及后续演化。

标准太阳模型：

太阳内部从内向外依次是核心区、辐射区、对流区。

恒星光度在约0.3倍太阳半径处达到最大，说明核聚变发生在0.3倍太阳半径内。

恒星质量随半径增大而增加，0.6倍太阳半径外的物质对于恒星质量贡献很低。

恒星温度降至0.8倍太阳半径处不再变化。

恒星密度随半径降低一直到恒星表面。

恒星压强随半径快速下降，核心密度是平均密度的100倍。

恒星内部各元素所占比例随半径变化，如随着半径增大：

（1）氢占比增多，大于0.2倍太阳半径时几乎变平，在半径0.7倍太阳半径出现一个尖尖的上扬然后变平（对流平均）；

（2）氦占比减少，大于0.2倍半径后下降速率很慢，在半径0.7倍半径处略微下降变平（对流平均）；

（3）氦的同位素在半径略小于0.3倍太阳半径处存在凸起（PP链+元素扩散）。

*问题：太阳不同半径位置拥有不同的氢氦丰度，请回答下图中的问题，并分析如果恒星质量增大或减小，图中曲线会发生怎样的变化？

我们得到了恒星的内部结构模型，但我们观测的是恒星的大气，所以还需要恒星大气模型。我们需要计算从恒星表面逸出的辐射、临边昏暗现象等等。

恒星表面辐射强度：

表面温度

真正的表面等效温度在τ =2/3处。

临边昏暗：当辐射来自同一深层时，恒星中心处的辐射经过的光深最小，被吸收的量也最小；或者说在经过相同吸收（相同光深）的情况下，被观测到的恒星日心处的辐射来自最深的层次，因此温度更高。

从表面逸出的辐射光谱：

连续谱：处于局域平衡下的黑体，但不同波长不同光深处温度不同，即灰体谱。

吸收线：线吸收显著大于连续谱吸收，决定于恒星大气中的细致平衡。如巴尔末跳变。

利用恒星大气模型进行积分：

输入：恒星结构模型给出的表面温度、重力、化学组成

输出：任意角度的表面辐射强度，对2π角度积分可得到总流量。

检验：比较太阳高分辨率光谱。

*问题：临边昏暗现象是什么？请解释其产生的主要原因，分析有没有可能产生临边增亮现象？需要什么条件？

*问题：巴尔默跳变指的是什么？在哪些类型的恒星上可以观测到？

*问题：为什么恒星不能无限大？影响恒星质量和光度上限有哪些主要原因？