见下图，我已经先把蓝色作图线变细变浅以突出红色作图线。作图步骤如下：

（1）先作一个与角的两边都相切的辅助圆。具体方法是：在角平分线PP'上任取一点，比如叫做E。过点E作一条边（这里是PB）的垂线EG，垂足为G。以点E为圆心，以EG为半径作圆（图中红色的圆E，一般我们用圆心表示这个圆）。

（2）连接PQ。PQ与辅助圆交于两点F和K。连接EF，连接EK。EF、EG和EK都是圆E的半径，即EF=EG=EK（就上图来说，EK暂时用不上，它在作另一个符合条件的圆时才会用到）。过点Q作平行于EF的直线，与角平分线PP'交于点O。过点O作PB的垂线OH，垂足为H。

（3）观察三角形PEG和POH。它们相似，相似比是PE：PO。再观察三角形PEF和POQ，它们也相似，相似比也是PE：PO。

（4）EG：OH和EF：OQ都等于这个相似比，而EG=EF，所以有OH=OQ，它们就是所求圆的半径。以点O为圆心，以OH或OQ为半径作圆，这个圆就是符合要求的圆，即它与直线PA和PB都相切，且过点Q。（图中绿色圆。）

（5）另一个符合要求的圆的圆心是这样确定的：过点Q作直线与EK平行，直线与角平分线PP'的交点就是圆心，然后的作图就类似了。

第二种方法（对应蓝色作图线）

见下图，我们这次把红色作图线变细变浅以突出蓝色作图线。作图步骤如下：

（1）过定点Q作角平分线PP'的垂线，与PA、PB和PP'分别交于点A、点B和点P'。在线段AB上取点Q关于点P'的对称点Q'。那么，所要求作的圆一定通过Q和Q'这两点，并且圆心当然一定在角平分线PP'上，只是具体在什么位置还不确定，需要想办法。

（2）以AB为直径在角点P一侧作一个半圆。过点Q作AB的垂线交半圆于点C。连接AC，连接BC。则三角形ABC为直角三角形，角ACB为直角。

（3）通过相似三角形对应边成比例，或通过相交弦定理，都可以得出结论：

CQ^2 = BQ × AQ

而

BQ = AQ'

所以，CQ^2 = BQ × AQ变为

CQ^2 = AQ' × AQ

（它已经很像切割线定理，本证明就是要用到切割线定理，这是一个很重要的定理，在很多问题中它能起到桥梁的作用）

从点A处量起，在AP上截取线段AD等于CQ。过点D作AP的垂线，垂线与角平分线PP'交于点O。这个点O就是所求作圆的圆心。而OD就是所求作圆的半径。以点O为圆心，以OD为半径所作之圆一定在点D处与AP相切，并且一定通过点Q和点Q'。这是因为有

AD^2 = AQ' × AQ

同样地，作另一个符合要求的圆，只要把上面在AP上取点D的过程改为在PA的延长线上取点即可。

以上两种方法被画在同一张图上，可以很好地看出，两种方法作出的圆心是同一个点。

上面的两种方法对两条直线平行的情况仍然适用。您不妨试一试。

作图题在平面几何中属比较难的题目。这里介绍给您，首先可以使您在阅读过程中，领悟平面几何的风采，体会推理的严谨，欣赏数学之美。其次，也为下一期有趣的内容打下基础。下一期涉及另一个六圆定理，其中要求作一个与两条直线都相切并且还与一个定圆相切的圆。它比这里的作图题还要难，但有了今天的基础，下一期的内容就容易理解了。下一期的六圆定理，我也给出了动态的演示，让您领悟变与不变的神奇关系。

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