一张打印纸的思考

一、问题简述

一张A4打印纸为什么在平直的状态下立不起来，在弯曲了一定的角度后就可以立起来？弯曲一定的角度后改变了A4纸什么性质。

二、A4纸倒塌原因分析

微小扰动使A4纸发生弯曲变形，同时结构的不稳定无法恢复至铅锤方向的平衡，重心位置由于形变发生改变，与地面约束反力构成一个力偶，从而导致坍塌。

   此处结构的不稳定主要体现在抗压能力上，该模型其实可以看作一个压杆模型，自身重力与地面的约束反力构成了对承重杆施加的压力。对于压杆模型的稳定性即可以由弯曲刚度EI来表现，杨氏模量E并不随着A4纸形状的变化而变化，所以需要研究的则是弯曲过后截面的形心主惯性矩。

三、形心主惯性矩求解

为了方便后期的验证工作这里对A4纸的尺寸进行规定，宽度为210mm，厚度为0.104mm，弯曲后的角度为120°。

1.平面A4纸

易知，

2.弯曲成圆柱面状

已知量：宽度b、厚度𝛿，角度α

对于弯曲后的A4纸，由于A4纸的杨氏模量比较小，正应力的影响可以忽略不计，那么该轴线就可以近似为中轴线，长度保持不变，则有；

（1）形心位置求解

；

通过极坐标变换：

          ；

计算可得：

（2）形心主惯性矩求解

                ；

                ；

      计算可得：

                      ；

            ；

            最后通过移轴定理，即可求出其形心主惯性矩

           -

四、检验

；

；

五、结论与思考

    截面的不同导致了形心主惯性矩的差异，A4纸弯曲后惯性矩变大，该方向的弯曲刚度变大从而使得纸张抵抗屈曲失稳的能力更强。

    提出问题：1.弯曲多少角度的A4纸稳定性最强？

              2.弯曲过程中两方向的惯性矩如何变化？

              3.思考结构