【组合数学】排列组合 ( 两个计数原则、集合排列示例 |
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文章目录一、两个计数原则、集合排列示例二、集合排列、圆排列示例 排列组合参考博客 : 【组合数学】基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 )【组合数学】集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | 二项式定理 )【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )【组合数学】排列组合 ( 排列组合示例 )【组合数学】排列组合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列 所有元素重复度大于排列数 | 多重集非全排列 某些元素重复度小于排列数 )【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数 推导 1 分割线推导 | 多重集组合数 推导 2 不定方程非负整数解个数推导 )【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数示例 | 三个计数模型 | 选取问题 | 多重集组合问题 | 不定方程非负整数解问题 )一、两个计数原则、集合排列示例排列 26个字母 , 使得 a,b之间有 7个字母 , 求排列方法数 ; 需要使用 分类计数原理 ( 加法原则 ) , 分步计数原理 ( 乘法原则 ) ; 分类计数 ( 加法原则 ) : 有 3类方案 , 第一类有 2个方案 , 第二类有 4个方案 , 第三类有 1个方案 , 总共有 2 + 4 + 1 = 7个方案 ; 分步计数原理 ( 乘法原则 ) : 有 3类方案 , 第一步有 2个方案 , 第二步有 4个方案 , 第三步有 1个方案 , 总共有 2 \times 4 \times 1 = 8个方案 ; 1. 首先使用分步计数原理 , 第一步 : 先构造出以 a,b为边界 , 中间含有 7个字母的子结构 ; 第二步 : 将 a,b子结构作为元素 , 与其它 26-9 = 17个子元素一起 , 总共 18个元素进行全排列 ; 分步计数原理对应乘法法则 , 最终结果是 第一步的方案个数 乘以 第二步的方案个数 ; 2. 第一步计算 : 先构造出以 a,b为边界 , 中间含有 7个字母的子结构 ; 该子结构中的 7个字母 , 相当于从除 a,b之外的其它 24个字母中选取 7个字母进行排列 , 一一对应 : 相当于元素不重复的集合中 , 进行有序选取 , 对应着集合的排列问题 , 使用集合排列公式进行计算 ; 24个字母中选取 7个字母进行排列 , 选取方法有 P(24, 7)种 ; 这里涉及到分类计数原理 , 第一类是 a在前 , b在后的情况 , 选取方法有 P(24, 7)种 ; 第二类是 b在前 , a在后的情况 , 选取方法有 P(24, 7)种 ; 分类计数原理对应加法法则 , 总的方法数是 第一类 与 第二类 相加之和 , 选取方法有 2\ P(24, 7)种 ; 3. 第二步计算 : 将 a,b子结构作为元素 , 与其它 26-9 = 17个子元素一起 , 总共 18个元素进行全排列 ; 18个元素进行全排列 , 结果是 18!; 4. 第一步方案 乘以 第二步方案 ( 分步计算原理 加法法则 ) : 第一步的方案个数 乘以 第二步的方案个数 ; N = 2\ P(24, 7) \ 18!二、集合排列、圆排列示例10个男生 , 5个女生, 站成一排 , 如果没有女生相邻 , 有多少种方法 ? 如果站成一圈 , 有多少种方法 ? 需要使用 分类计数原理 ( 加法原则 ) , 分步计数原理 ( 乘法原则 ) ; 分类计数 ( 加法原则 ) : 有 3类方案 , 第一类有 2个方案 , 第二类有 4个方案 , 第三类有 1个方案 , 总共有 2 + 4 + 1 = 7个方案 ; 分步计数原理 ( 乘法原则 ) : 有 3类方案 , 第一步有 2个方案 , 第二步有 4个方案 , 第三步有 1个方案 , 总共有 2 \times 4 \times 1 = 8个方案 ; 1. 10个男生 , 5个女生, 站成一排 , 如果没有女生相邻 , 有多少种方法 : 需要使用分步处理 : 先把男生放好 , 然后将女生插空放进去 ; ① 第一步 : 先把男生放好 , 男生 10个 , 站好以后有 11个格子 ; 10个男生的放置位置 , 元素不重复的有序选取 , 这是集合排列问题 , 排列方案有 P(10,10) = 10!个方案 ; ② 第二步 : 然后将女生插空放进去 , 5个女生只能放在这 11个格子中 ; 11个格子中放 5个女生 , 元素不重复的有序选取 , 这是集合的排列问题 , 排列方案有 P(11, 5)③ 分步计数原理 ( 乘法原则 ) : 将 第一步方案数 与 第二步方案数 相乘 , 方案个数是 : P(10,10) \ P(11, 5)2. 10个男生 , 5个女生, 站成一圈 , 如果没有女生相邻 , 有多少种方法 : 需要使用分步处理 : 先把男生放好 , 然后将女生插空放进去 ; ① 第一步 : 先把男生放好排成一圈 , 男生 10个 , 因为是排成一圈 , 因此站好以后只有 10个格子 ; 10个男生的放置位置 , 元素不重复的有序选取 , 这是集合圆排列问题 , 需要使用圆排列公式 , 排列方案有 \cfrac{P(10,10)}{10}个方案 ; 参考 : 【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 ) 四、环排列 n元集 S, 从 S集合中 有序 , 不重复 选取 r个元素 , S集合的 r-环排列数 = \dfrac{P(n,r)}{r}r个不同的线性排列 , 相当于同一个环排列 ; 一个环排列 , 从任意位置剪开 , 可以构成 r种不同的线性排列 ; ② 第二步 : 然后将女生插空放进去 , 5个女生只能放在这 10个格子中 ; 10个格子中放 5个女生 , 元素不重复的有序选取 , 这是集合的排列问题 , 排列方案有 P(10, 5)③ 分步计数原理 ( 乘法原则 ) : 将 第一步方案数 与 第二步方案数 相乘 , 方案个数是 : \cfrac{P(10,10)}{10} \ P(10, 5) |
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