BPR

首先使用BPR(Bayesian Personalized Ranking)推荐模型。BPR中文名称为贝叶斯个性化排序，它是基于矩阵分解的排序算法。它的算法训练集是一个个的三元组$$，其表示对用户u来说，商品$i$的优先级要高于商品$j$。

我们的预测目标是得到一个预测排序矩阵$\hat{X}$，这个矩阵可以被分解为$\hat{X}:=W H^{t}$，其中$W$为$U×k$维矩阵，$H$为$I×k$维矩阵，$k$远小于$U$和$I$

由于BPR是基于用户维度的，所以对于任意一个用户u，对应的任意一个物品i我们期望有：^xui=〈wu,hi〉=k∑f=1wuf⋅hifx^ui=〈wu,hi〉=∑f=1kwuf⋅hif

$x^{\wedge} u i$表示物品$i$对于用户$u$的排序优先度。此时我们再令^xuij:=^xui−^xujx^uij:=x^ui−x^uj

可得到最终需要求解的最大对数后验估计函数∑(u,i,j)∈DSlnσ(^xui−^xuj)−λθ∥θ∥2∑(u,i,j)∈DSln⁡σ(x^ui−x^uj)−λθ‖θ‖2

这个式子对${\theta}$求偏导后，可以用梯度上升法或者牛顿法等方法来优化求解模型参数