研究傅里叶变换的过程中经常要和复数打交道，经常会遇到 eixe^{ix}eix 这种形式。

这里就总结一下复数的直角坐标、极坐标，以及复指数表示形式，也有对欧拉公式的直观解释，以便更好地理解傅里叶变换。

本文中图片均来自于 国立台湾师范大学资讯工程学系的演算法笔记。

首先，复数基本单位是 i=−1i=\sqrt{-1}i=−1​，有了这个单位，复数空间中的每个数都可以表示为 a+bia+bia+bi 的形式。其中，a 被称为「实部（real part）」，b 被称为「虚部（imaginary part）」。

复数可以在复平面（complex plane）上表示，复平面横纵坐标分别为实部和虚部，下图就是复数 2+3i2+3i2+3i 在复平面上的表示。

我们可以发现，这个复平面和实数空间的直角坐标系类似。那可不可以用极坐标的方法表示复数呢？

事实上，复数是可以用极坐标表示的，那一个复数用极坐标表示时的长度和角度分别是多少呢？我们可以在复平面中计算出来。

例如，复数 4+3i4+3i4+3i 的复平面直角坐标表示是(4,3)(4, 3)(4,3)，原点指向该点的向量长度 r=32+42=5r=\sqrt{3^2+4^2}=5r=32+42​=5，向量的角度 θ=arctan(34)\theta = arctan(\frac{3}{4})θ=arctan(43​)。

这里，复数极坐标表示的长度 rrr 也被称为「强度（magnitude）」，角度 θ\thetaθ 也被称为「相位（phase）」。

上面我们用复数的直角坐标计算出了极坐标，那么是不是也可以由极坐标推出直角坐标呢？我们还是从复平面中来看：

从上图可以看出，当我们有复数极坐标 (r,θ)(r, \theta)(r,θ) 时，我们可以得到其直角坐标 (rcos⁡(θ),rsin⁡(θ))(r \cos(\theta), r \sin(\theta))(rcos(θ),rsin(θ))，即该复数为 rcos⁡θ+r∗isin⁡θr\cos\theta + r*i\sin\thetarcosθ+r∗isinθ。

欧拉有一天发现，神奇数字 eee 的纯虚数次方竟然在复数平面上绕圈！

用极坐标形式表示，就是 eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\thetaeiθ=cosθ+isinθ。

如此，一个复数就又多了一种指数的表示形式，即复指数形式：reiθ=rcos⁡θ+r∗isin⁡θr e^{i\theta} = r \cos\theta + r*i \sin\thetareiθ=rcosθ+r∗isinθ。

而当 r=1r=1r=1，θ=π\theta=\piθ=π 时，对应的直角坐标刚好就是 (−1,0)(-1, 0)(−1,0) ，也就是实数 -1。由此就有了那个著名的「欧拉公式」：

实数波我们比较熟悉，就是 sin⁡θ\sin\thetasinθ 或 cos⁡θ\cos\thetacosθ 形式。而复数波则是由 eiθe^{i\theta}eiθ 来定义，实数波和复数波的示意图如下：

从示意图中，可以看出，当俯视复数波时，观察到的投影即是一个实数波，即是 eiθ=cos⁡θ+i∗sin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta + i* \sin\thetaeiθ=cosθ+i∗sinθ 的实部：cos⁡θ\cos\thetacosθ；当从左侧侧视复数波时，得到的投影即是其虚部：sin⁡θ\sin\thetasinθ。

事实上，复数波的完整定义为：

其中，AAA为振幅，ω\omegaω为角速度，fff为频率，ϕ\phiϕ为初试相位，这个波的强度（magnitude）为 A=A2⋅cos⁡2(2πft+ϕ)+A2⋅sin⁡2(2πft+ϕ)A = \sqrt{A^2 \cdot \cos^2(2\pi f t+\phi) + A^2 \cdot \sin^2(2\pi f t+\phi)}A=A2⋅cos2(2πft+ϕ)+A2⋅sin2(2πft+ϕ)​，瞬时相位（phase）为 2πft+ϕ2\pi f t + \phi2πft+ϕ。

由于复指数形式的复数波eiθe^{i\theta}eiθ相较于cos⁡(θ)+isin⁡(θ)\cos(\theta)+i\sin(\theta)cos(θ)+isin(θ)更简单且更易于控制，因而在信号处理中得到广泛的使用。除此之外，eiθe^{i\theta}eiθ形式可以看作是实数波的基础，因为我们可以组合两个复数波来得到cos⁡(θ)\cos(\theta)cos(θ)和sin⁡(θ)\sin(\theta)sin(θ)：

另外，在信号处理中，我们只需要考虑实部的线性运算，因此，在我们对一个复数波进行滤波后，得到的复数波可以分解为 cos⁡\coscos 和 sin⁡\sinsin 的形式，进而只需要选取实部所对应的 cos⁡\coscos 部分就行了。

在傅里叶变换中，便是将任意非周期函数分解为了各种复数波叠加的形式，因而傅里叶变换的公式中才会有类似 eixe^{ix}eix 的形式。