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A佳湖南大联考·2021年秋季高二入学测试卷数 学（本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，将本试题卷和答题卷一并上交。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的模为（ ）A． B． C． D．2．设有直线m、n和平面α，β，下列命题中正确的命题是（ ）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，则3．已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为180、240、160．现采用分层抽样的方法从中抽取n名同学去某福利院参加慈善活动，其中高一年级被抽取的人数为9，则n=（ ）A．21 B．29 C．9 D．204．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积等于（ ）A． B． C． D．5．已知A、B相互独立，P（A）=0.6，P（B）=0.3，则（ ）A．0.58 B．0.9 C．0.7 D．0.726．已知向量（1，2），（，），其中，若与垂直，则θ=（ ）A． B． C． D．7．某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分为90分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得100分，却记成了70分，乙实得80分，却记了110分，更正后平均分和方差分别是（ ）A．90，75 B．90，63 C．95，75 D．95，638．△ABC中，BD是AC边上的高，，，则（ ）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知i是虚数单位，复数（z的共轭复数为），则下列说法中正确的是（ ）A．的虚部为 B．C．的实部为1 D．z在复平面内对应的点在第三象限10．钝角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=7，b=5，，则（ ）A． B． C． D．11．如图：正三棱锥P ABC的底面边长为3，侧棱长为，，则下列叙述正确的是（ ）A．正三棱锥的外接球的表面积为 B．AB⊥PCC．点E到面ABC的距离等于2 D．正三棱锥侧面积为12．在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，且BC=4，AD=1，则（ ）A．△ABC面积的最大值为2 B．△ABC为锐角三角形C． D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，O'A'=1，O'B'=2，∠A'O'B'=45°，则△OAB的面积是 ．14．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则p的值为 ．15．若正四面体ABCD的棱长为2，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值等于 ．16．在△ABC中，E为AC上一点，，P为BE上任一点，，，（，），若，则当取最小值时，四边形ADPF的面积与△ABC的面积之比等于 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．第17题10分，其余每题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图：四边形ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=，E为AO的中点，（）．（1）求；（2）求当取最小值时，的值．18．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到相应的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求a的值，并估计该厂生产的口罩质量指标值的平均值和第60百分位数：（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取20个口罩，再从这20个口罩中质量指标值位于的口罩中随机抽取2个，其质量指标值分别为m、n，求事件“”的概率．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若，求的最大值．20．如图，四棱锥P ABCD的底面为正方形，直线PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，G为PC的中点，AC与BD交于点M．若平面BDG平面PAD=m．（1）求证：PA//m；（2）求三棱锥M BCG的体积．21．设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，没有平局．在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．比赛顺序比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束．（1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率：（2）求甲获胜的概率．22．如图，四棱锥P ABCD的底面为正方形，所有棱长都是2，E、F、G分别是棱PB、PD、BC的中点．（1）求二面角B PC D的余弦值；（2）求PB与平面EFG所成角的大小．高二数学参考答案1．【答案】A【解析】由得：，∴.故选：A.2．【答案】D【解析】若，，则，平行或异面，故A错误；若，，，则，平行或异面，故B错误；若，，无法得出与交线垂直，故C错误；若，，则，故D正确；故选：D3.【答案】B【解析】∴故选：B4．【答案】C【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，解得，又，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积是故选：C5．【答案】A故选：A6．【答案】D∵与垂直，∴，故选：D.7．【答案】B因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为，由题意得，，而更正前有：，化简整理得.故选：B.8．【答案】A解：∵∴∵∴由正弦定理可知，即∴；故选A．9．【答案】BD，，所以，对于A，的虚部为2，故A不正确；对于B，，故B正确；对于C，的实部为，故C不正确；对于D，对应的点为在第三象限.故D正确.故选：BD10．【答案】ABD因为，，故A正确根据余弦定理：∴或8，当是为锐角三角形故，故C不正确。再根据余弦定理得，∴B正确故D正确故选：ABD.11.【答案】ABD解：正三棱锥的底面三角形的高，为的中心，，三棱锥的高，设外接球的半径为则，∴，∴，故A正确；由于平面，∴,故B正确；作，则面由于故,故C错误；正三棱锥的斜高为，正三棱锥侧面积为故D正确．故选ABD．12.【答案】AD解：由于，∴，故A正确，∴为钝角三角形，故B不正确∵∴∴，∴故C不正确又，∴故D正确13.【答案】2由斜二测画法可知，可知，，且，因此，的面积为.14．【答案】在甲、乙、丙处投中分别记为事件，，，至少投中一次的对立为事件发生，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．故至少投中一次的概率，解得.故答案为：15.【答案】取的中点，连接，则故为所求.在中，，∴16.【答案】由题意可知：，，，三点共线，则：，据此有：，当且仅当，时等号成立.取到最小值.此时17.解：(1)由于四边形是边长为4的菱形∴，∴在上的投影向量为故(2)如图当时，取到最小值，此时∴18.【解析】（1）由直方图可知，，∴该厂生产的口罩质量指标值的平均值为．记第60百分位数为，则∴故平均值为124和第60百分位数为126；（2）质量指标值位于的口罩个数为个，记为，，，，，质量指标值位于的口罩个数为个，记为，从这7个口罩中随机抽取2个的所有可能情况有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共21种，其中事件“”的所有可能情况有：、、、、、、、、、，共10种，故事件“”的概率为.19.【解析】（1）根据正弦定理，由得，又因为，所以，又因为，所以，又因为,所以（2）根据正弦定理∴，∴故其中（）又.当时，取最大值20.【解析】（1）证明：连接由已知得、分别为,的中点，∴，又平面，平面，∴平面．又面,面面∴（2）∵面,为中点∴到面的距离又∴21．【解析】（1）由题意只进行三局比赛，分为两种情况：1.第一局甲胜，第二局丙胜，第三局丙胜，2.第一局乙胜，第二局丙胜，第三局丙胜.即丙获胜比赛就结束，故可得所求的概率为（2）由题意甲获胜的情况有三种：1.甲连胜两局.2.第一局甲胜，第二局丙胜，第三局乙胜，第四局甲胜；3.第一局乙胜，第二局丙胜，第三局甲胜，第四局甲胜故可得所求的概率为22．【解析】（Ⅰ）取的中点，连接,，.∵为边长为2的等边三角形，为中点∴同理，∴为二面角的平面角.在中，，根据余弦定理得：故二面角的余弦值是（Ⅱ）设点到面的距离为.与平面所成角为.由于又由题意知为正四棱锥，故面∴又，，，面，∴面，面∴又，∴故∴∴∴与平面所成角为.

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