（建议阅读最新版本）

　　 我们经常会遇到这样一个问题： 已知平面直角坐标系上一点 P， 坐标为 (x, y)， 求射线 OP 与 x 轴正方向的夹角 \theta．首先我们要给这个夹角取一个范围， 一般来说既可以取 [0, 2\pi) 也可以取 (-\pi, \pi]， 但如无特殊说明， 我们统一使用后者． 　　 一些教材中直接用 \theta = \arctan\left(y/x\right)， \theta \in (-\pi/2, \pi/2) 来表示这一关系， 这是不严谨的． 我们下面来定义一个符合要求的新函数， 记为 \operatorname{Arctan} (y, x)1． 其中定义为 x, y \in \mathbb R， 即任意实数， 值域为 (-\pi, \pi]．

\begin{align}&\operatorname{Arctan} (y,x) \equiv \begin{cases} \arctan\left(y/x\right) \quad &(x > 0)\\ \arctan\left(y/x\right) + \pi &(x < 0,\,y \geqslant 0)\\ \arctan\left(y/x\right) - \pi &(x < 0,\,y < 0)\\ \pi /2 &(x = 0, \,y > 0)\\ -\pi /2 &(x = 0, \,y < 0)\\ 0 & (x=0,\,y=0) \end{cases}&(1)\\\end{align}

本书统一使用该定义， 但也有一些其他文献将其定义为上式加 \pi， 使值域为 (0, 2\pi]， 或者认为 x = 0, y = 0 无定义（不属于定义域）． 偏导数 　　 函数在除了在原点和 x 轴的负半轴， 在其它定义域都是连续且光滑的， 即存在连续的无穷阶偏导． 一阶偏导为

\begin{align}&\frac{\partial}{\partial{x}} \operatorname{Arctan} (y, x) = \frac{-y}{x^2 + y^2} \qquad \frac{\partial}{\partial{y}} \operatorname{Arctan} (y, x) = \frac{-x}{x^2 + y^2}&(2)\\\end{align}

1. 在许多编程语言中 \arctan 被记为 atan， \operatorname{Arctan} 被记为 atan2． 也有一些文献将 \operatorname{Arctan} 记为 \operatorname {Tan}^{-1} 或 \operatorname {atan2}