三角函数及其反函数的导数 整理+证明 |
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三角函数及其反函数的导数 整理+证明
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定义-三角函数
函数名称
符号
正弦
$\sin \theta$
余弦
$\cos \theta$
正切
$\tan \theta$
余切
$\cot \theta$
正割
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$
余割
$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$
其中 相关恒等式： 求导-三角函数几个非常有用的结论a) $\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$1. $\cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta}$
如图， $\odot A$ 是单位圆， $AC$ 为一条过 $A$ 的射线，它与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\theta$ 。则： $\theta = \overset{\large\frown}{BC}$（由弧度制的定义得) $\sin \theta = CH$ $\tan \theta = EB$于是 2. $\frac{\sin\theta}{\theta} < 1$从上面的图可以看出来： 3. final proof因为 由夹逼定理知 b) $\lim_{\theta\to 0} \frac{\cos \theta -1 }{\theta} = 0$c) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x }{\frac{x^2}{2}} = 1$$(\sin x)’ = \cos x$$(\cos x)’ = -\sin x$$(\tan x)’ = \sec^2 x$$(\cot x)’ = -\csc^2 x$$(\sec x)’ = \sec x \cdot \tan x$$(\csc x)’ = -\csc x \cot x$求导-反三角函数$(\sin^{-1} x)’ = \frac{1}{\sqrt {1-x^2}}$$(\cos^{-1} x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$(\tan^{-1} x)’ = \frac{1}{1+x^2}$$(\cot^{-1} x)’ = - \frac{1}{1+x^2}$$(\sec^{-1} x)’ = \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$$(\csc^{-1} x)’ = - \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$ |
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