我们知道 a r c s i n arcsin arcsin 是 s i n sin sin 的反函数，即 y = s i n ( x ) , s i n − 1 ( y ) = x y=sin(x), sin^{-1}(y)=x y=sin(x),sin−1(y)=x

为了方便观察，我们暂且把这个 s i n sin sin 的反函数写成 A ( y ) A(y) A(y)，所以 A ( y ) = A ( s i n ( x ) ) = x A(y)=A(sin(x))=x A(y)=A(sin(x))=x

两边同时求导：（左边还是根据链式法则） d A ( y ) d y ⋅ d y d x = 1 \frac{dA(y)}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=1 dydA(y)​⋅dxdy​=1 d A ( y ) d y ⋅ d s i n ( x ) d x = 1 \frac{dA(y)}{dy}\cdot \frac{dsin(x)}{dx}=1 dydA(y)​⋅dxdsin(x)​=1 d A ( y ) d y ⋅ c o s ( x ) = 1 \frac{dA(y)}{dy}\cdot cos(x)=1 dydA(y)​⋅cos(x)=1

这时候要把 c o s ( x ) cos(x) cos(x) 化成使用 y y y 表示的形式

又因为 y = s i n ( x ) y=sin(x) y=sin(x) 我们知道 s i n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) = 1 sin^2(x)+cos^2(x)=1 sin2(x)+cos2(x)=1 所以 c o s ( x ) = 1 − s i n 2 ( x ) cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)} cos(x)=1−sin2(x) ​

所以： d A ( y ) d y = 1 1 − s i n 2 ( x ) = 1 1 − y 2 \frac{dA(y)}{dy}=\frac{1}{\sqrt{1-sin^2(x)}}=\frac{1}{1-y^2} dydA(y)​=1−sin2(x) ​1​=1−y21​

也就是 s i n − 1 ( y ) sin^{-1}(y) sin−1(y) 的导数是 1 1 − y 2 \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} 1−y2 ​1​