逆三角関数(arcsin,arccos,arctan)の定義と諸性質まとめ |
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逆三角関数(arcsin,arccos,arctan)の定義と諸性質まとめ
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三角関数の逆関数について，定義とそのグラフ，性質をまとめます。 逆三角関数の定義逆三角関数のグラフ逆三角関数の性質基本的な性質逆三角関数の微分逆三角関数の不定積分逆三角関数の定義\sin \colon \mathbb{R} \to [-1,1] は単射でないため逆関数は定義できませんが，定義域を [-\pi/2, \pi/2] に制限すれば，これは全単射になり，逆関数が定義できます。 同様にして \cos, \tan の逆関数も，定義域を制限すれば考えられます。実際の定義を述べましょう。 逆関数の定義については，以下の記事を参照してください。  逆関数(逆写像)の定義と性質を厳密に～図解付き～逆関数(逆写像)の定義と性質について図を交えつつ厳密に説明します。逆関数を厳密に定義するためには，「全単射」という概念が必要です。これについては長くなってしまうため，別の記事で解説していますから，以下を参照してください。定義（逆三角関数） \sin x \, (-\pi/2 \le x \le \pi/2) の逆関数を \color{red} \sin^{-1} x \, (-1\le x\le 1) や \color{red} \arcsin x などと書く。 \cos x \, (0 \le x \le \pi) の逆関数を \color{red} \cos^{-1} x \, (-1\le x\le 1) や \color{red}\arccos x などと書く。 \tan x \, (-\pi/2 < x < \pi/2) の逆関数を \color{red} \tan^{-1} x \, (-\infty< x < \infty) や \color{red} \arctan x などと書く。このように，逆三角関数を(一価の)関数とみたときの取る値を主値といいます。定義域を主値を表でまとめましょう。 逆三角関数定義域主値 \theta = \sin^{-1} x -1 \le x \le 1 -\pi/2 \le \theta \le \pi/2\theta = \cos^{-1} x -1 \le x \le 1 0 \le \theta \le \pi\theta = \tan^{-1} x -\infty < x < \infty -\pi/2 < \theta < \pi/2逆三角関数のグラフ3つのグラフを確認しておきましょう。    逆三角関数の性質さまざまな性質をまとめてみましょう。 基本的な性質定理（逆関数の基本的な性質） \sin^{-1} (-x) = - \sin^{-1} x, \,\, -1\le x\le 1. \cos^{-1} (-x) = \pi -\cos^{-1} x, \,\, -1\le x\le 1. \tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x, \,\, x\in \mathbb{R} \cos (\sin^{-1} x) = \sin(\cos^{-1} x) = \sqrt{1-x^2},\,\, -1 \le x\le 1. \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \pi /2, \,\, -1 \le x \le 1. \tan^{-1} x + \tan^{-1} 1/x = \begin{cases} \pi/2 & x>0, \\ -\pi/2 & x< 0.\end{cases} \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1}x}{x} = 1.証明は，三角関数の基本的な性質（たとえば \sin x = \cos (\pi/2 -x ) など）を組み合わせればできます。 逆三角関数の微分定理（逆三角関数の微分） \displaystyle(\sin^{-1} x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \,\, -1 |
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