下面我们先直接用代数式来证明一下： 设 y 1 = arcsin ⁡ x ， y 2 = arccos ⁡ x ，求 y 1 + y 2 由于 x = sin ⁡ y 1 = cos ⁡ y 2 ，而 cos ⁡ y 2 = sin ⁡ ( y 2 + π 2 ) 那么就得到 y 1 = y 2 + π 2 ，即 y 1 − y 2 = π 2 但我们说这样不成立，为什么？   为了弄清原因，我们结合反三角函数的定义域、值域和图像来进行分析 如下图所示。 实际上 arcsin ⁡ x 只取 sin ⁡ x 在 [ − π 2 , π 2 ] 的那一段图像做关于 y = x 的对称 而 arccos ⁡ x 只取 cos ⁡ x 在 [ 0 , π ] 的那一段图像做关于 y = x 的对称 因此在上述推导过程中， y 1 的范围是 [ − π 2 , π 2 ] ， y 2 的范围是 [ 0 , π ]   sin ⁡ ( y 2 + π 2 ) 的范围是 [ π 2 , 3 π 2 ] 不属于 [ − π 2 , π 2 ] 的范围 因此 sin ⁡ ( y 2 + π 2 ) 不成立   那如何推出正确的结论呢？ 由于 cos ⁡ x 是偶函数，因此 cos ⁡ y 2 = cos ⁡ ( − y 2 ) = sin ⁡ ( − y 2 + π 2 ) sin ⁡ ( − y 2 + π 2 ) 的范围是 [ − π 2 , π 2 ] ，因此成立 最终有 x = sin ⁡ y 1 = cos ⁡ y 2 = cos ⁡ ( − y 2 ) = sin ⁡ ( − y 2 + π 2 ) 因此 y 1 = − y 2 + π 2 ，即 y 1 + y 2 = π 2 即 arcsin ⁡ x + arccos ⁡ x ≡ π 2 下面我们先直接用代数式来证明一下： \\ 设y_1=\arcsin x，y_2=\arccos x，求y_1+y_2 \\ 由于x=\sin y_1=\cos y_2，而\cos y_2=\sin(y_2+\frac{\pi}{2}) \\ 那么就得到y_1=y_2+\frac{\pi}{2}，即y_1-y_2=\frac{\pi}{2} \\ 但我们说这样不成立，为什么？\\ \,\\ 为了弄清原因，我们结合反三角函数的定义域、值域和图像来进行分析 \\ 如下图所示。\\ 实际上\arcsin x只取\sin x在[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]的那一段图像做关于y=x的对称 \\ 而\arccos x只取\cos x在[0,\pi]的那一段图像做关于y=x的对称 \\ 因此在上述推导过程中，y_1的范围是[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]，y_2的范围是[0,\pi] \\ \,\\ \sin(y_2+\frac{\pi}{2})的范围是[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]不属于[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]的范围 \\ 因此\sin(y_2+\frac{\pi}{2})不成立 \\ \,\\ 那如何推出正确的结论呢？\\ 由于\cos x是偶函数，因此\cos y_2=\cos(-y_2)=\sin(-y_2+\frac{\pi}{2}) \\ \sin(-y_2+\frac{\pi}{2})的范围是[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]，因此成立 \\ 最终有x=\sin y_1=\cos y_2=\cos(-y_2)=\sin(-y_2+\frac{\pi}{2}) \\ 因此y_1=-y_2+\frac{\pi}{2}，即y_1+y_2=\frac{\pi}{2} \\ 即\arcsin x+\arccos x\equiv\frac{\pi}{2} 下面我们先直接用代数式来证明一下：设y1​=arcsinx，y2​=arccosx，求y1​+y2​由于x=siny1​=cosy2​，而cosy2​=sin(y2​+2π​)那么就得到y1​=y2​+2π​，即y1​−y2​=2π​但我们说这样不成立，为什么？为了弄清原因，我们结合反三角函数的定义域、值域和图像来进行分析如下图所示。实际上arcsinx只取sinx在[−2π​,2π​]的那一段图像做关于y=x的对称而arccosx只取cosx在[0,π]的那一段图像做关于y=x的对称因此在上述推导过程中，y1​的范围是[−2π​,2π​]，y2​的范围是[0,π]sin(y2​+2π​)的范围是[2π​,23π​]不属于[−2π​,2π​]的范围因此sin(y2​+2π​)不成立那如何推出正确的结论呢？由于cosx是偶函数，因此cosy2​=cos(−y2​)=sin(−y2​+2π​)sin(−y2​+2π​)的范围是[−2π​,2π​]，因此成立最终有x=siny1​=cosy2​=cos(−y2​)=sin(−y2​+2π​)因此y1​=−y2​+2π​，即y1​+y2​=2π​即arcsinx+arccosx≡2π​