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arcsinx+arccosx=π/2是反三角函数中常用的诱导公式,所以知道其的由来会有助于对反三角函数的掌握,下面三种方法是基于作者的水平而做出的解答。 1.定义法 构造一个直角三角形(只在(0,π/2)内说明),则公式arcsinx+arccosx=π/2可以看做该直角三角形内一个角与其余角的和,故arcsinx+arccosx=π/2成立。 2.反三角函数诱导公式意义及运算 绿的为y=arccos(x) 红的为y=arcsin(x)sin(π/2-arccosx)=cosarccosx=x ∴π/2-arccosx ∈[-π/2,π/2] ∴由反三角函数运算法则可知:sin(π/2-arccosx)=x即arcsinx+arccosx=π/2成立。 3.导数法 令f(x)=arcsinx+arccosx (x∈[-1,1])则: f’(x)=1/√(1-x²) -1/√(1-x²)=0 ∴f(x)=arcsinx+arccosx (x∈[-1,1])为常数函数 而又f(0)=arcsin0+arccos0=0+π/2=π/2 故arcsinx+arccosx=π/2成立。 |
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