第二道题是：

又有田广十二步，从十四步。问：为田几何？答曰：一百六十八步。

这两个问题都非常的简单，但是在古代则是非常重要的数学定义，第一道题其实是定义了“亩”的概念，一亩就是长十五步，宽十六步的一个平面，用今天的数学语言来表达，1亩就是240平方步。第二题实际上是定义了乘法的意义，12乘以14，就表示长度为12，宽度为14的一个平面，这个平面是168。

中国古代表示面积，没有“平方步”、“平方尺”的说法，而是用“亩”、“顷”来表示土地的面积，田广十五步，从十六步即为一亩，百亩为一倾。

那么，5×3＝15的实际意义就是，一个长为5，宽为3的矩形的面积。何谓一平方米？就是边长为1米的一个平面。为什么5×3＝15呢？如果我们用一个方格表示1平方米，那么，15个平方米，就是15个方格的排列，一共有3行，每行5个，所以，5×3＝15。

因此，乘法并不是凭空而来的，两个数相乘所得到的另外一个数，就是这两个数围成的一个平面。

第二：古代的测绘工具

古代最简单的测绘工具就是圆规和直尺，我们所说的“规矩”一词，就是指圆规和直尺，孟子说：“不以规矩，不能成方圆”。画圆要用圆规，画正方形要用直尺。

对于绘制在平面上的图形，可以用尺子测量长度和宽度，并得到面积。那么，对于田亩应该怎么测量呢？世界上没有那么大的尺子可以用，怎么办呢？测量土地的长度和宽度，用的是绳子和步数。

绳子可以拉得很长很长，但是怎么知道绳子有多长呢？在绳子上打结以表示刻度，横向的拉一次绳，再纵向的拉一次绳，这块土地的面积就测出来了。

古人测量版图的面积，其实就是靠走路，秦始皇和亚历山大大帝想要知道帝国有多大，只能派人去走路。人类走路，每一步的长度都不是很均匀，但是，只要不跑步，坚持走几十公里、上百公里，平均下来，其实每一步的长度都是很均匀的，刚开始走，不均匀，走多了，就均匀了，人类很早就发现了这个规律，所以，人类才能用走路的方式来测量大地。古人用走路的方式测量的面积，与今天人们利用遥感技术、卫星测量的土地面积，误差不是很大。

人类的步伐不是很均匀，骆驼走路则是慢慢悠悠的，非常均匀，所以，古希腊人曾经通过数骆驼的步数测量了地球的周长，测量地球的周长，带着骆驼绕地球一圈，进行环球旅行，在当时是几乎不可能的。古希腊人知道地球是圆的，通过观察太阳光线的倾斜角度，其实就可以估算出地球的周长，古希腊学者埃拉托斯特尼，找来了皇家测量员，想要通过测量塞因市（今埃及的阿斯旺市）与亚历山大港之间的太阳光线的倾斜角度的差异来估算地球的周长，皇家测量员带着骆驼在这两个城市之间走了一圈，通过数骆驼的步数，测得了两城之间的距离是5000个场（1场约为157.5米），两个城市之间的距离是地球周长的五十分之一，那么，这样一来，地球的周长就是25万个场，折合成现在的公里，就是39375公里，我们的地球实际的赤道周长是40076公里，与数骆驼的步数，测量出来的结果，误差只有701公里。

第三：圆形和三角形的面积如何计算？

亚历山大帝国的版图不是一个规则的矩形，从最南边走到最北边，再从最东边走到最西边，两个数相乘，并不是亚历山大帝国的版图面积，而是一个近似值，而且是一个与实际面积相差很大的近似值。

那么，不规则的图形，如何计算面积呢？今天的我们学了数学之后，很容易知道，圆形的面积是圆周率乘以半径的平方，圆周率是固定的，测量出圆形的直径，就可以得到圆形的面积。三角形的面积是底乘以高再除以二。但如果我们不知道面积公式，如何计算三角形和圆形的面积呢？

三角形和圆形的面积公式，从根本上说是基于矩形的。三角形的面积公式为什么是底乘以高再除以二呢？相同的三角形复制一个过来，与原来的三角形拼接在一起，肯定能得到一个平行四边形，两个相同的直角三角形可以组成一个矩形。本质上来讲，三角形就是矩形的一半，所以三角形的面积是底乘以高再除以二。

其他一切不规则的图形，都是基于三角形和矩形的切切补补的结果，面积公式不是人为定义的公式，而是人们在测量土地面积的过程中，用切切补补的方式发现的。

第四：圆周率是什么？

圆周率是人为定义的，圆的周长除以直径就是圆周率，圆的周长就是圆周率乘以直径，那么这样一来，已知半径，就可以求得圆的面积，圆的面积公式就是圆周率乘以直径除以二再乘以直径的一半，简单概括，圆的面积就是圆周率乘以半径的平方。

《九章算术》有一道题：“又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。问：为田几何？答曰：十一亩九十步十二分步之一。”

为了解这道题，中国古代的数学家花了上千年的时间来研究圆周率，人们将圆周率定义为周长除以直径的值，但这只是理论上的定义，实际生活中，是需要测量的，测量往往有误差，画一个直径为1米的圆，无论怎么测量，也测不到周长的准确值，而只是近似于3.14米。那么，如何得到准确的周长呢？这就涉及到了圆周率的估算。

若干个等份的三角形可以组成平行四边形，但这个平行四边形不是真正的平行四边形，而是近似平行四边形，它的边长有弧度，切割的三角形越多，就越能将这个弧线拉直，但永远不能拉直，三角形的数量越多，得出的圆周率就越精确，所以，人们是通过对圆的切割，来推导圆周率的值的，并进而认识了微积分，有了极限的思想，从而开启了高等数学的大门。

第五：计里画方

前文已经说了，一切不规则的图形，都是基于矩形的面积，用切切补补的方式可以计算出来，正多边形的边长越多，越接近圆，正12面体比正20面体，更接近于球形。

那么，同样，不管什么形状的图形的面积，都是由若干个边长为1的等份小方格组成的。

幅员辽阔的版图，形状是不规则的，为了测量版图的面积，中国古代的学者想出了一个妙计，那就是“计里画方”。

中国见于文字记载的最早的地图集是西晋时期的裴秀绘制的《禹贡地域图》十八篇，西晋以前的地图集都散佚了，只有部分地图被带入墓葬中而重新被考古学家发现，如甘肃天水出土的战国时期的《放马滩地图》、长沙马王堆汉墓出土的《驻军图》。《禹贡地域图》十八篇之地图集，实际上也已经散佚了，只留下了序文，所以，研究中国古代的地图一般缺乏实物证据，也就无法知道秦始皇测量土地面积的相关细节。不过，我们仍然可以从《禹贡地域图》十八篇之序文中得到相关的历史信息。

裴秀在序文中提出了“制图六体”，即“分率”、“准望”、“道里”、“高下”、“方邪”、“迂直”。其中的“分率”表示比例尺，“迂直”是指实地距离与平面距离的折算。

有了比例尺、实地距离与平面距离的折算，人们就可以通过地图上的面积推算出实际的土地面积。

裴秀绘制《禹贡地域图》十八篇时，当时天下的地图，比例尺一般为1比1800000。按照比例尺，可以推算出这些地图上的实际的土地面积。而裴秀绘制的地图，则是以“以二寸为千里”，地图上的二寸，就代表一千里。

与此同时，裴秀还提出了“计里画方”的制图法，计里画方就是以方格为网络绘制地图，地图上一般标有“每方折地百里”、“方括十里”的说法，这就是比例尺，“每方折地百里”就是每一个方格的边长代表一百里。

现存最早的用“计里画方”的方法绘制的地图，是南宋时期的《禹迹图》，此图刻于南宋绍兴六年，《禹迹图》上的水平方格为70格，垂直方格是73格，共计5110个方格，“每方折地百里”，古代的1里等于现在的2公里，每方折地百里，就是每方折地50公里，5110个方格，即是1277.5万平方公里。因此，《禹迹图》所涵盖的总面积约为1278万平方公里。

古人想要知道一座城池有多大，首先要绘制地图，把实际的地理要素，一点点绘制在地图上。绘制地图，要实测距离，地图上的城池，界限虽然是犬牙交错，曲曲折折的，但是，落实到实际所代表的每一块土地，则是标准的直线，这和计算圆的面积是一样的，将圆分成无数个等份的三角形，三角形的数量越多，圆的弧线越接近直线，这就是数学当中的极限思想和微积分的概念。古代行军打仗，首先要看地图，有了地图就知道实际的地理要素了，知道每座城池的大小了。秦始皇统一六国之后，实际上也不需要重新测量秦朝的土地面积，只要把每个地方的地图收集起来，就可以计算出秦朝有多大了，把秦朝的每一个郡县的面积相加，就是秦朝的面积。当然，任何的测量，都是有误差的，所以，历朝历代都需要重新绘制地图，重新测量，数据的误差也越来越小。

数学源于生活，“万物皆数”，因为测量土地面积的需要，而诞生了几何学，几何是数学最重要的分支，数与形相互发展，为了计算圆的面积，而产生了数学中的极限思想，并诱导了微积分的产生。如果我们在历史的情境中学习数学，会发现数学是一门非常有意思的学科，而不是充满了各种定理、公式的枯燥无味的学科。返回搜狐，查看更多