三连就是最好的支持！（雾）

一、为什么要做这么一期专栏呢

       简单来说就是发现伪切圆是一个非常基本的模型，但是其中隐藏的结论以及证法中运用到的性质是十分丰富的，有必要稍微整理一下，便打算写这么一期，希望不要烂尾（雾）。

二、这一切要从一个看似简单的问题出发——内切弦圆

       现有如下简单的问题（引理一）：

       圆O中有弦AB，圆P内切圆O于点T，切弦AB于点K，点M为弧AB（不含点T）的中点. 试证T、K、M三点共线. 

       这个问题笔者第一次见到是在某道几何题答案的引理中，当时是其等价形式：

       圆O中有弦AB，圆P内切圆O于点T，切弦AB于点K. 试证TK平分∠ATB. 

       后来在某本几何书上又一次看到，才意识到这是伪切圆的基本模型。

证明：过T作圆O的切线，交直线AB于C. 易知，CK和CT分别切圆P于K、T，所以CK = CT，推出∠TAK + ∠ATK = ∠TKC = ∠KTC = ∠BTK + ∠CTB. 又由弦切角定理可知∠CTB = ∠TAK，所以有∠ATK = ∠BTK即T、K、M三点共线. ☐

       除了这个比较显然的结论外，还有一个比较有意思的结论，笔者称为引理二：

       圆O中有弦AB，圆P内切圆O于点T，切弦AB于点K，点M为弧AB（不含点T）的中点. 试证M关于圆P的幂为MA的平方. 

       这个比上一个还简单，但是并不是很明显。

证明：因为∠CTB=∠TAK且∠KMB=∠TMB，所以△MBK相似于△MTB，所以M关于圆P的幂为MK·MT=MB^2=MA^2.  ☐

       为了方便，笔者将上述图形称为内切弦圆。

三、伪外接圆

       其实伪内切圆更出名，但是也更难，于是笔者决定先讲伪外接圆。（搞得好像伪外接圆很简单的样子）

       笔者是如下定义的：在△ABC中，若一个圆过点B和点C，且与△ABC 的内切圆相切，则称其为△ABC中顶点A所对的伪外接圆。

       在以上定义中，若去掉点A和线段AB、线段AC，剩下的图形不就是一个内切弦圆吗？之后再伪内切圆中，亦可看到内切弦圆的影子。

       在伪外切圆中，性质并不少。先看看性质一：

       在△ABC中，圆P为△ABC中顶点A所对的伪外接圆，圆I为△ABC内切圆，其中圆P与圆I相切于N点，设AD为△ABC中BC边上的高，D为垂足，H为AD的中点，圆I切BC于F，J为△ABC中顶点A所对的旁心. 试证N、H、F、J四点共线. 

       值得一提的是，2002年IMO预选题与此有关：

       （Shortlist 2002/G7）ABC is an acute-angled triangle. The incircle touches BC at K. The altitude AD has midpoint M. The line KM meets the incircle again at N. Show that the circumcircle of BCN touches the incircle of ABC at N. 

       这个证明稍微有些复杂，笔者将其分为两步：

       第一步，证明H、F、J三点共线（相对而言比较简单的一步）。

证明：设点A所对的旁切圆切线段BC于点K，K关于圆J的对径点为点L，点F关于圆I的对径点为E. ∵EF⊥BC，AD⊥BC，JK⊥BC ∴EF//AD//JK 又∵易知A、E、K共线. （为什么） ∴△KEF与△KAD关于点K位似. ∴K、I、H三点共线. ∵A、I、J共线. ∴△AEI与△AKJ关于点A位似. ∴HD/JK=IF·KD/（JK·KF）=IE·KD/（JK·KF）=AE·KD/（AK·KF）=DF·KD/（DK·KF）=DF/KF 又∵AD//JK ∴△FKJ与△FDH关于点F位似即H、F、J三点共线. ☐

       第二步，证明N、F、J三点共线。

证明：设伪外接圆为圆Ω，设AB切圆I于X，AC切圆I于Y，NB交圆I于R，NC交圆I于S，NB交XF于P，NC交YF于Q. 易知圆I与圆Ω关于点N位似，其中B与R、C与S为对应点. ∴RS//BC ∴NR/NP=NS/NC ∵BX、BF均为圆I切线.  ∴XRFN为调和四边形. ∴NR/NP=PR/PN （为什么） 同理可知PR/PN=NR/NP=NS/NC=QS/QN ∴PQ//RS//BC 易知XF//BJ，QF//CJ. （为什么） ∴△JBC与△FPQ位似即BP、JF与CQ共点. ∴N、F、J三点共线. ☐

       由以上两步我们容易得出原结论成立。

       再看看性质二：

       在△ABC中，圆P为△ABC中顶点A所对的伪外接圆，圆I为△ABC内切圆，圆I切BC于F，J为△ABC中顶点A所对的旁心. 试证圆P平分线段FJ. 

       这个相较于上面的性质一比较简单（从证明的长度就可以看出）。

证明：设伪外接圆交FJ于点V，过J、V分别做BC的垂线，垂足分别为K、W. 由引理一和伪外接圆的性质一可知，V为弧BC的中点，所以W为线段BC的中点. 又∵BK=FC ∴KW=FW 又∵KJ//WV ∴JV=FV ☐

       这里不妨给出伪外接圆的某种作图方法：

       在△ABC中作出内切圆I，设圆I切线段BC于F，过B、C任作一圆，交圆I于Z、W，延长ZW交BC于点T，以T为圆心，TX为半径画弧，交圆I于U，作△BCU的外接圆，则该圆即为△ABC中顶点A所对的伪外接圆. 

       上述作图过程的证明较简单，请读者自行证明（坏笑，好像经常在哪里看到这种话呢）。

四、伪内切圆

       在正式介绍伪内切圆之前，先看一下与其相近的另一图形，笔者厚颜无耻地将其称为“类伪内切圆”。

　　类伪内切圆是这样的一类图形：圆O中有弦AB，圆G内切圆O于点T，切弦AB于点F，点C在弧AB（含点T）上，点D在线段AB上，且CD切圆G于E，则称圆G为类伪内切圆。其中，当D=A时，称圆G为△ABC中顶点A所对的伪内切圆。

       类伪内切圆有着如下性质：

       圆O中有弦AB，圆G内切圆O于点T，切弦AB于点F，点C在弧AB（含点T）上，点D在线段AB上，且CD切圆G于E，点I为EF与CM的交点，M为为弧AB（不含点T）的中点. 试证：I为△ABC的内心，且C、E、I、T四点共圆. 

证明：∵C、I、M共线. ∴∠MCT=∠MCB+∠BCT=∠MBA+∠BMF=∠BFT=∠FET ∴C、E、I、T四点共圆. ∵∠TEC=∠TFE，∠TCE=∠TIF ∴△TCE相似于△TIF. ∴∠ITF=∠CTE=∠CIE=∠MIF ∴△MFI相似于△MIT. ∴MI^2=MF·MT=MB^2（引理二） 由鸡爪定理可知，I为△ABC的内心. ☐

       事实上这个问题还有一种问法以及证明思路：

       圆O中有弦AB，圆G内切圆O于点T，切弦AB于点F，点C在弧AB（含点T）上，点D在线段AB上，且CD切圆G于E，点I为△ABC的内心，M为为弧AB（不含点T）的中点. 试证：I、E、F三点共线，且C、E、I、T四点共圆. 

       其证明思路是先证明C、E、I、T四点共圆，然后△MFI相似于△MIT（相当于证明鸡爪定理），最后证明共线（可能是这样吧）。请读者自行尝试（其实是笔者也不会）。

       讲完类伪内切圆，再进一步讲讲伪内切圆。先来看看性质大汇总（笔者绝对不会说是因为自己懒所以才搞大汇总的）：

       在△ABC中，圆Ω为A所对的伪内切圆，分别切AB、AC、外接圆于D、E、F，点I为△ABC内心，内切圆切BC于K，A所对的旁切圆切BC于L，G、H、J分别为弧AB（不含C）、AC（不含B）、BC（含A）的中点. 试证：

       （a）D、E、I三点共线且I为线段DE的中点；

       （b）F、D、G共线，F、E、H共线；

       （c）F、I、J共线；

       （d）AF与AL、AF与KF为两组等角线；

       （e）B、D、I、F四点共圆，C、E、I、F四点共圆. 

       证明比较容易，留给读者作为习题。

证明：（a）由类伪内切圆的性质可知D、I、E共线. 又∵AD=AE，AI平分∠DAE. ∴I为DE中点. 

（b）由引理一易知成立. 

（e）由类伪内切圆的性质易知成立. 

（c）由（e）可知∠IFC=∠AED=∠ADE=∠IFB，所以F、I、J共线. 

（d）延长AI交外接圆于M，JM交AL于P，交BC于Q，设K关于圆I的对径点为N. 易知Q为BC的中点，所以LQ=KQ. ∵PQ//KN ∴P为NL中点. ∴PI//BC即PI⊥JM. ∴A、I、P、J四点共圆. ∴∠IAF=∠MJI=∠PAI 又∵AI平分∠BAC. ∴AF与AL为等角线. 同理可证AF与KF为等角线. ☐

五、结语

       其实关于伪切圆还有很多很有意思的性质，有些附在习题，有些请读者自行探索。

六、习题

1.（ELMO Shortlist 2012/G4 Ray Li） Circles Ω and ω are internally tangent at point C. Chord AB of Ω is tangent to ω at E, where E is the midpoint of AB. Another circle, ω1 is tangent to Ω, ω, and AB at D, Z, and F respectively. Rays CD and AB meet at P. If M is the midpoint of major arc AB, show that tan∠ZEP=PE/CM. 

2.（2009年日本数学奥林匹克） 设Γ是△ABC的外接圆，一个以点O为圆心的圆切BC于P，切圆Γ于Q（Q在不含点A的弧BC上）. 求证如果∠BAO=∠CAO，则∠PAO=∠QAO. 

3.（Vietnam TST 2003/2） Let ABC be a scalene triangle with circumcenter O and incenter I. Let H, K, L be the feet of the altitudes of triangle ABC from the vertices A, B, C, respectively. Denote by A_0, B_0, C_0 the midpoint of these altitudes AH, BK, CL, respectively. The incircle of triangle ABC touches the sides BC, CA, AB at the points D, E, F, respectively. Prove that the four lines DA_0, EB_0, FC_0, OI are concurrent. 

4.（2012年罗马尼亚大师杯数学奥林匹克/6） 已知I、O分别为△ABC的内心、外心，圆Ω_A为顶点A所对的伪外接圆，类似定义圆Ω_B、圆Ω_C. 设圆Ω_B、圆Ω_C交于A、A'，类似定义B'，C'. 求证：AA‘、BB’、CC‘、OI共点. 

5.（自编题，征解） 证明3、4两题中的7条直线共点. 

七、参考书籍

《Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads》

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