层次分析法的理解 |
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层次分析法的理解
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层次分析法层次分析法的特点基本概念重要性表判断矩阵为什么要引入判断矩阵呢？判断矩阵的特点
一致矩阵为什么要定义一致矩阵呢？一致矩阵的特点:一致矩阵的引理：一致性检验的步骤
判断矩阵计算权重算术平均法求权重几何平均法特征值法求权重
层次分析法的局限性层次分析法框架图
层次分析法
评价类问题可用打分来解决，也就是说通过分数来量化一个评价指标，层次分析法就是一个量化指标的方法。解决评价类问题的思路：
评价的目标是什么？达到这个目标有哪几种可选的方案？评价的准则或者说评价的指标是什么？
一般来说，前两个问题的答案是根据数学建模题目可以判断出来的，但是第三个问题的答案就需要根据题目中的背景材料、常识以及网上搜索到的参考资料进行结合，从中筛选出最合适的指标，就可以根据指标来对方案进行打分
层次分析法的特点
判断矩阵是层次分析法用来分析的一个方阵，方阵里的元素是评价指标之间两两比较得出的分值 为什么要引入判断矩阵呢？这是为了确定指标的权重，一次性考虑全部指标之间的关系，往往考虑不周，因此采用了分而治之的思想，对单个指标进行研究，在这个指标下对方案之间两两比较进行评分，最后计算出该指标的权重 判断矩阵的特点记方阵为A，对应的元素为 a i j \boldsymbol{a_{ij}} aij a i j \boldsymbol{a_{ij}} aij表示的意义是，与指标 j \boldsymbol{j} j相比， i \boldsymbol{i} i的重要程度，重要程度由重要性表给出当 i = j \boldsymbol{i}=\boldsymbol{j} i=j时，两个指标相同，因此同等重要记为1，所以主对角线上的元素为1 a i j > 0 \boldsymbol{a_{ij}>0} aij>0且满足 a i j × a j i = 1 \boldsymbol{a_{ij}\times a_{ji}=1} aij×aji=1（满足正互反矩阵） 一致矩阵 为什么要定义一致矩阵呢？这是为了要判断我们的判断矩阵是否是不一致的，也就是判断矩阵会出现一些逻辑上的错误，一致矩阵的目的就是用来检验判断矩阵中是否存在很大的逻辑错误（可以容忍稍微的不一致） 一致矩阵的特点:各行（各列）之间成倍数关系 a i j = i的重要程度 j的重要程度 \boldsymbol{a_{ij}=\frac{\text{i的重要程度}}{\text{j的重要程度}}} aij=j的重要程度i的重要程度 a j k = j的重要程度 k的重要程度 \boldsymbol{a_{jk}=\frac{\text{j的重要程度}}{\text{k的重要程度}}} ajk=k的重要程度j的重要程度 a i k = i的重要程度 k的重要程度 = a i j × a j k \boldsymbol{a_{ik}=\frac{\text{i的重要程度}}{\text{k的重要程度}}=a_{ij}\times a_{jk}} aik=k的重要程度i的重要程度=aij×ajk 一致矩阵的引理： A为n阶方阵，且A的秩 r ( A ) = 1 \boldsymbol{r(A)=1} r(A)=1，则A有一个特征值为 t r （ A ） \boldsymbol{tr（A）} tr（A），其余特征值均为0，当特征值为n时，对应的特征向量刚好为 k [ 1 a 11 , 1 a 12 ⋅ ⋅ ⋅ 1 a 1 n ] T ( k ≠ 0 ) \boldsymbol{k[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}}···\frac{1}{a_{1n}}]^T(k\ne 0)} k[a111,a121⋅⋅⋅a1n1]T(k=0)n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值 λ m a x = n \boldsymbol{\lambda_{max}=n} λmax=n，且当正互反矩阵A非一致时，一定满足 λ m a x > n \boldsymbol{\lambda_{max}>n} λmax>n 一致性检验的步骤第一步：计算一致性指标CI C I = λ m a x − n n − 1 \boldsymbol{CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}} CI=n−1λmax−n 第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI RI的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵，随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值 λ m a x ′ \boldsymbol{\lambda'_{max}} λmax′ R I = λ m a x ′ − n n − 1 \boldsymbol{RI=\frac{\lambda'_{max}-n}{n-1}} RI=n−1λmax′−n 第三步：计算一致性比例CR C R = C I R I \boldsymbol{CR=\frac{CI}{RI}} CR=RICI 如果CR < 0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要对判断矩阵进行修正（判断矩阵一般不会完全一致） 假如CR > 0.1，此时应该对判断矩阵进行修正，往一致矩阵上调整，一致矩阵各行各列成比例 判断矩阵计算权重 一致矩阵因为各行和各列之间成比例，因此不需要每一行都计算出所占的权重，但是判断矩阵不同，判断矩阵不是每一行或每一列都成比例，因此在某些地方计算出来的权重是不相同的 算术平均法求权重 归一化处理权重：对每一行（列）的元素对该行（列）全部元素进行求和，该行对应的元素除以该行元素的总和就可以得出该元素（方案）的权重将归一化后的各列相加（按行求和），将相加后得到的向量中的每个元素除以方案数n即可得到权重向量数学表示： 假 设 判 断 矩 阵 = [ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ] 假设判断矩阵=\left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \\ ... &... &... &...\\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn} \end{array} \right] 假设判断矩阵=⎣⎢⎢⎡a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann⎦⎥⎥⎤ 那 么 算 术 平 均 法 求 得 的 权 重 向 量 ω i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ∑ k = 1 n a k j ( i = 1 , 2 , . . . , n ) 那么算术平均法求得的权重向量\ \omega_i=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n\frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^na_{kj}}(i=1,2,...,n) 那么算术平均法求得的权重向量 ωi=n1j=1∑n∑k=1nakjaij(i=1,2,...,n) 几何平均法 将矩阵A中的元素按照行相乘得到一个新的列向量将新的向量的每个分量开n次方对该列向量进行归一化处理即可得到权重向量 假 设 判 断 矩 阵 A = [ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ] 假设判断矩阵A=\left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \\ ... &... &... &...\\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn} \end{array} \right] 假设判断矩阵A=⎣⎢⎢⎡a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann⎦⎥⎥⎤ 那 么 几 何 平 均 法 求 得 的 权 重 向 量 ω i = ( ∏ j = 1 n a i j ) 1 n ∑ k = 1 n ( ∏ j = 1 n a k j ) 1 n 那么几何平均法求得的权重向量\ \omega_i=\frac{(\prod^n_{j=1}a_{ij})^{\frac{1}{n}}}{\sum^n_{k=1}(\prod^n_{j=1}a_{kj})^{\frac{1}{n}}} 那么几何平均法求得的权重向量 ωi=∑k=1n(∏j=1nakj)n1(∏j=1naij)n1 特征值法求权重由前面可知，一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值为0，而且当特征值为n时，对应的特征向量刚好为 k [ 1 a 11 , 1 a 12 ⋅ ⋅ ⋅ 1 a 1 n ] T ( k ≠ 0 ) \boldsymbol{k[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}}···\frac{1}{a_{1n}}]^T(k\ne 0)} k[a111,a121⋅⋅⋅a1n1]T(k=0)，分析可知 [ 1 a 11 , 1 a 12 ⋅ ⋅ ⋅ 1 a 1 n ] T \boldsymbol{[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}}···\frac{1}{a_{1n}}]^T} [a111,a121⋅⋅⋅a1n1]T就是一致矩阵的第一列上的元素 假如判断矩阵的一致性可以接受，那么也可以仿照一致矩阵权重的求法 求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量对求出的特征向量进行归一化处理即可得到权重 只有判断矩阵通过一致性检验才能使用 层次分析法的局限性 评价的决策层（方案层）不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大 平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15如果决策层中指标的数据是已知，再用层次分析法去主观给出判断矩阵显然是不合理的，那么我们该如何利用这些数据来世的评价更加准确呢？ 层次分析法框架图
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层次分析法的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化为若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在很对情况下，决策者可以直接使用层次分析法（AHP）进行决策，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合、克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点
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