向量的点积 |
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点积的定义 线性代数中,n维向量v和w的点积定义如下,点积的结果为一个标量(只有数值,无方向): 针对二维和三维向量,向量a和b的点积根据定义计算公式可以写为: 另外,从几何意义上来说,a和b的点积还可以按照下面的公式来计算: |a|、|b|表示向量的模(长度),θ表示向量a和b之间的夹角 我们先不关注为什么这两种计算方法是等价的,点积的主要作用是可以用来计算角度,点积是线性代数很多内容的核心,可以用来简化大量的计算,线性代数也是计算机图形学必须要掌握的学科之一。 例子:已知三维xyz坐标系a,b两点的坐标,如何计算向量a和b之间的夹角θ? 根据前面的点积的公式和几何定义我们可以推导出计算角度θ的计算公式: 有了上面的公式,接下来我们使用Julia语言来实际计算下这个角度值是多少 # 计算向量a和b之间的夹角 using LinearAlgebra # 向量a,b的定义 a = [4, 8, 10] b = [9, 2, 7] # 向量的点积 dot_product = dot(a, b) # 求向量a,b的模长 length_a = norm(a) length_b = norm(b) # 求θ角的余弦值 cos_θ = dot_product / (length_a * length_b) # 求theta的弧度值 θ = acos(cos_θ) print("θ的弧度值为:", θ) # 求θ的角度值 print("\nθ的角度值为:", θ * (180/pi), "°")运行结果向量a和b之间的夹角为38.2...°,你可以尝试使用其他的方法计算下试试,蛮复杂的。 θ的弧度值为:0.6672196386878 θ的角度值为:38.22886930505464°证明点积的几何意义和坐标定义为什么是等价的最后,来证明下为什么点积的坐标公式和几何定义是等价的,根据三角形的边长公式可知 逐步展开推导如下 最后得出的结果等号两边刚好是点积的坐标定义和几何定义,两种方式得出的结果是相同的,证明完毕。 |
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