随机试验特点：可重复性、不可预知性

随机试验观测到的现象为随机现象

概率论与数理统计研究的对象

概率论研究随机现象的统计规律

数理统计研究随机现象的数据收集与分析

随机试验的某些可能结果组成的集合称为，简称事件

样本空间：随机试验所有可能结果的集合称为样本空间。常用\(\Omega\)表示。 样本点：样本空间的元素称为样本点，常用\(\omega\)表示。

有限样本空间：试验(2)和试验(3) 无限样本空间：试验(1)

随机事件是某些样本点组成的集合。

在一次试验中，当试验结果属于事件A时，称这次试验中。否则称。

例 6.1 在一批含有20件正品，5件次品的产品中随机地抽取2件，可能结果如下：

A＝{2件全是正品}

B＝{只有1件是正品}

C＝{2件全是次品}

在不计次序的假定下，A、B、C是基本事件。

如果考虑次序，B不再是基本事件，它可分解为\(B_1\)和\(B_2\)两个基本事件。 \(B_1\)＝{第1次抽到正品，第2次是次品} \(B_2\)＝{第1次抽到次品，第2次是正品}

事件的关系：

包含: 如果事件A发生，事件B一定发生。则称事件B包含事件A。记为\(A\subset B\)。显然\(A\subset\Omega\)。

相等: \(A=B\Leftrightarrow A\subset B\text{且}B\subset A\)

互斥: \(A\cap B = \varnothing\)

对立：\(A\cap B = \varnothing\)且\(A\cup B=\Omega\)，记\(A = \bar{B}\)或者\(B = \bar{A}\)

事件A和B的关系?

事件B和C的关系?

事件C和D的关系?

事件D和E的关系?

事件的运算：交、并、差

\(A\cap B\)或者AB，事件A和B同时发生

\(A\cup B\)，事件A和B至少一个发生。若\(A\)和\(B\)互斥, 则\(A\cup B\)可表示为\(A+B\)。

\(A\backslash B\)，或表示为\(A-B\)，事件A发生但事件B不发生

多个事件的交\(\bigcap_{i=1}^n A_i\)，多个事件的并 \(\bigcup_{i=1}^n A_i\)

韦恩图

例 6.3 设\(A\)、B、C为任意三个事件，写出下列事件的表达式：

AC都发生B不发生。

恰有二个事件发生。

至少有一个事件发生。

三个事件同时发生。

三个事件发生。

三个事件发生。

事件的运算法则:

对于任意三个事件A,B,C，满足下列运算：

\(AB=BA\), \(A\cup B=B\cup A\)

\((AB)C=A(BC)\), \((A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)\)

\(A(B\cup C)=AB\cup AC\), \(A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\)

\(\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}\), \(\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}\)

\[\overline{\bigcup_{i=1}^n A_i}=\bigcap_{i=1}^n \bar{A}_i,\quad \overline{\bigcap_{i=1}^n A_i}=\bigcup_{i=1}^n \bar{A}_i\]

频率的定义：设事件\(A\)在\(n\)次试验中出现了\(r\)次，则比值 \(r/n\)称为事件\(A\)在\(n\)次试验中出现的频率。

概率的统计定义：在同一组条件下所作的大量重复试验中，事件\(A\)出现的频率总是在区间\([0,1]\)上的一个确定的常数\(p\)附近摆动，并且稳定于\(p\)（频率的稳定值），则\(p\)称为事件\(A\)的概率，记作\(P(A)\)。

注意：\(P(\)这里面只能为事件！\()\)。如，\(P(\)骰子的点数\()=1/6\)是错误的。

确定概率的古典方法。古典概型的随机试验要求满足下两条件：

有限性。只有有限多个不同的基本事件。

等可能性。每个基本事件出现的可能性相等。

在古典概型中，如果基本事件（样本点）的总数为\(n\)，事件\(A\)所包含的基本事件（样本点）个数为\(r(r\le n)\)，则定义事件\(A\)的概率\(P(A)\)为\(r/n\)。即

\[P(A)=\frac{r}{n}=\frac{A\mathrm{中包含的基本事件的个数}}{\mathrm{基本事件的总数}}.\]

简单例子：抛均匀的硬币、骰子 思考： 古典概型的取值范围？

解. 设事件A={第\(k\)次取出的球是黄球}。

解法一：考虑第1次到第\(k\)次的取球结果。

\[P(A)=\frac{C_a^1A_{a+b-1}^{k-1}}{A_{a+b}^{k}}=\frac{a}{a+b}.\]

解法二：只考虑第\(k\)次的取球结果。

\[P(A)=\frac{C_a^1}{C_{a+b}^{1}}=\frac{a}{a+b}\]

结论：抽签与顺序无关（如同有放回的情况）！基本事件是相对的！

例 6.5 (m个质点在n个格子中的分布问题) 设有\(m\)个不同质点，每个质点都以概率\(1/n\)落入\(n\)个格子(\(n\ge m\))的每一个之中，求下列事件的概率：

例 6.6 (同一天生日问题) 某班级有\(n\)个人，问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？（假设一年有365天）

解. 记\(A=\){\(n\)个人中至少有两个人的生日相同}。\(\bar{A}=\){\(n\)个人中的生日全不相同}, 易知

\[P(\bar{A})=\frac{A_{365}^n}{365^n}=\frac{365!}{365^n(365-n)!}.\] 因此， \[P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{365!}{365^n(365-n)!}.\]

上述只是对\(n\le 365\)成立。如果\(n>365\)，则显然\(P(A)=1\). 联系生日攻击问题

概率的几何定义：平面上有可测的区域\(G\)和\(g\)，向\(G\)中随机投掷一点\(M\)，设\(M\)必落在\(G\)内。如\(M\)落在\(g\)内的概率只与\(g\)的面积成正比，而与\(g\)的位置和形状无关。这样的随机实验，称为几何概型。点\(M\)落入\(G\)内的部分区域\(g\)的概率为：

\[P = \frac{g\text{的面积}}{G\text{的面积}}.\]

注意：随机投点是指\(M\)落入\(G\)内任一处均是等可能的。 思考： 几何概型的取值范围？

\[P(A) = \frac{24^2-(16^2+18^2)/2}{24^2}\approx 0.4965.\]

例 6.8 (蒲丰投针实验) 蒲丰是几何概率的开创者，并以蒲丰投针问题闻名于世，发表在其1777年的论著《或然性算术试验》中。 由于通过他的投针试验法可以利用很多次随机投针试验算出\(\pi\)的近似值，所以特别引人瞩目，这也是最早的几何概 率问题。并且蒲丰本人对这个实验给予证明。1850年，瑞士数学家沃尔夫在苏黎世，用一根长\(36mm\)的针，平行线间距为\(45mm\)，投掷\(5000\)次，得\(\pi\approx3.1596\)。1864年，英国人福克投掷了\(1100\)次，求得\(\pi\approx3.1419\)。1901年，意大利人拉泽里尼投掷了\(3408\)次，得到了准确到6位小数的\(\pi\)值。

George-Louis Leclerc de Buffon (1707.9.7-1788.4.16)，法国数学家、自然科学家。

条件概率也是概率。

条件概率满足所有概率性质。验证三个公理

条件概率空间\((\Omega,\mathcal{F},P(\cdot|B))\)

若\(A\subset B\), 则\(P(A|B)\ge P(A)\).

若\(B\subset A\), 则\(P(A|B)=1\).

若\(AB=\varnothing\), 则\(P(A|B)=0\).

乘法公式：如果\(P(B)>0\), 则有 \[P(AB)=P(B)P(A|B).\] 更一般地，对于\(n\)个事件\(A_1,\dots,A_n\), 如果\(P(A_1\cdots A_{n-1})>0\), 则有 \[P(A_1\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1\cdots A_{n-1}).\]

解. 设事件\(A_i\)={第\(i\)套系统能正常工作}，\(i=1,2\). 即求\(P(A_1\cup A_2)\).

依题意有，\(P(A_1)=0.92\), \(P(A_2)=0.93\), \(P(A_2|\bar{A}_1)=0.85\).

则对任意一个具有正概率的事件\(A\)有 \[\bf{P(B_k|A)=P(B_k)\frac{P(A|B_k)}{P(A)}=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{\sum_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)}}.\]

几点说明：

该定理可以推广到可列多个的情况。

贝叶斯公式广泛用于统计推断：通过观测到的实验数据来推测模型参数，即由结果推断成因。

\(B_k\)可视为“因”，\(A\)视为“果”，\(P(B_k)\)称为"先验概率"，即在事件A发生之前，我们对事件\(B_k\)发生概率的一个判断；\(P(B_k|A)\)称为"后验概率"，即在事件A发生后，我们对事件\(B_k\)的重新评估。****

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设\(H_1\)表示一号碗，\(H_2\)表示二号碗。则\(P(H_1)=P(H_2)\)，也就是说，再取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，\(P(H_1)=0.5\)，我们把这个概率叫做“先验概率"，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。再假定，\(E\)表示水果糖，所以问题就变成了在已知\(E\)的情况下，来自一号碗的概率有多少？即求\(P(H_1|E)\)。我们把这个概率叫做”后验概率"，即在事件\(E\)发生之后，对\(P(H_1)\)的修正。由贝叶斯公式可求\[P(H_1|E)=\frac{P(H_1)P(E|H_1)}{P(H_1)P(E|H_1)+P(H_2)P(E|H_2)}=\frac{0.5\times(3/4)}{0.5\times(3/4)+0.5\times(1/2)}=0.6,\]也就是说，取出水果糖之后，\(H_1\)事件的可能性得到了增强。

解. 设\(A=\){主持人选中山羊}，\(B=\){参赛者第一次选中山羊}，\(C=\){参赛者第二次选中汽车}。所求为\(P(C|A)\). 若参赛者换另一扇门，则\(P(C|A)=P(B|A)\)，否则

\(P(C|A)=P(\bar{B}|A)=1-P(B|A)\). 已知\(P(B)=2/3\), \(\bf{P(A|\bar{B})=1}\). 由贝叶斯公式得 \[P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+\bf{P(A|\bar{B})}P(\bar{B})}=\frac{\bf{P(A|B)}(2/3)}{\bf{P(A|B)}(2/3)+1/3}.\]

假定1：主持人知道汽车的位置。如果参赛者第一次没选中汽车，主持人必定开启藏山羊的门。即\(P(A|B)=1\). 所以，换门中奖概率\(P(B|A)=2/3\).

假定2：主持人随机打开一扇门。则\(P(A|B)=1/2\). 所以，换门中奖概率\(P(B|A)=1/2\).

例 6.22 两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为\(0.05\)，第二台出现废品的概率为\(0.02\)，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为\(5:4\)。求

任意地从这些零件中取出一个合格品的概率；

若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪一台机床生产的可能性较大。

例 6.23 某实验室在器皿中繁殖成\(k\)个细菌的概率为 \[p_k = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \lambda>0, k=1,2,\dots.\] 并设所繁殖的每个细菌为甲类菌或乙类菌的概率相等，求下列事件的概率：

器皿中所繁殖的全部是甲类菌的概率；

已知所繁殖的全部是甲类菌，求细菌个数为2的概率；

求所繁殖的细菌中有\(i\)个甲类菌的概率。

解. (1) 设\(A=\){所繁殖的全部是甲类菌}，\(B_i=\){器皿中繁殖成\(i\)个细菌}。由全概率公式得 \[P(A)=\sum_{k=1}^\infty P(A|B_k)P(B_k)=\sum_{k=1}^\infty (1/2)^kp_k=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^\infty\frac{(\lambda/2)^k}{k!}=e^{-\lambda}(e^{\lambda/2}-1).\]

由贝叶斯公式得 \[P(B_2|A)=\frac{P(A|B_2)P(B_2)}{P(A)}=\frac{(1/2)^2p_2}{e^{-\lambda}(e^{\lambda/2}-1)}=\frac{\lambda^2}{8(e^{\lambda/2}-1)}.\]

设\(A_i=\){所繁殖的细菌中有\(i\)个甲类菌}，\(B_i=\){器皿中繁殖成\(i\)个细菌}。则有对于\(k\ge i\), \(P(A_i|B_k)=C_k^i/2^k\). 由全概率公式得 \[\begin{aligned} P(A_i)&=\sum_{k=i}^\infty P(A_i|B_k)P(B_k)=\sum_{k=i}^\infty C_k^i2^{-k}p_k\\&=e^{-\lambda}\sum_{k=i}^\infty\frac{(\lambda/2)^k}{i!(k-i)!} =e^{-\lambda}\frac{(\lambda/2)^i}{i!}\sum_{k=i}^\infty\frac{(\lambda/2)^{k-i}}{(k-i)!} \\&=\frac{\lambda^i}{2^ii!}e^{-\lambda/2}. \end{aligned}\]

注：必然事件及不可能事件与任何事件均是独立的。

如果\(P(A)>0\), 则\(P(B|A)=P(B)\Leftrightarrow\)事件\(A,B\)相互独立。 如果\(P(B)>0\), 则\(P(A|B)=P(A)\Leftrightarrow\)事件\(A,B\)相互独立。

若事件对\(A,B\)；\(A,\bar{B}\)；\(\bar{A},B\)；\(\bar{A},\bar{B}\)中有一对相互独立则其它三对亦相互独立。换言之，这四对事件要么都相互独立；要么都不独立。

设\(n\)个事件\(A_1,A_2,\dots,A_n\)相互独立，那么，把其中任意\(m(1\le m\le n)\)个事件相应换成它们的对立事件，则所得的\(n\)个事件仍然相互独立。

注意：\(A_1,A_2,\dots,A_n\)相互独立可以推出它们两两独立，反之不能！反例？

例 6.24 (一个反例) 同时抛掷两个四面体，每个四面体的四个面分别标有1、2、3、4。定义事件 \(A=\){第一个四面体出现偶数}；\(B=\){第二个四面体出现奇数}；\(C=\){两个四面体同时出现奇数或同时出现偶数}。