1、第 4 章 岩土工程中常用的本构模型 土体的应力应变关系是很复杂的，通常具有非线性、弹塑性、剪胀性和各向异性等。迄 今为止， 学者们所提出的土体本构模型都只能模拟某种加载条件下某类土的主要特性， 没有一 种本构模型能全面地、正确地表示任何加载条件下各类土体的本构特性。另一方面，经验表明 有些模型理论上虽然很严密， 但往往由于参数取值不当， 从而使计算结果可能会出现一些不合 理的现象；相反，有些模型尽管形式简单，但常由于参数物理意义明确，容易确定，计算结果 反而较为合理。因此，在选择本构模型时，通常在精确性和可靠性之间找到一个平衡点，即本 构模型既要能反映所关心的土体某方面的特征， 又要便于测定

2、参数， 这两方面忽略哪一个都是 不合适的。举例来说，很多学生认为摩尔库仑模型的参数容易确定，特别喜欢在分析中采用。 当然，摩尔库仑模型在以极限承载力为分析重点的问题中是很合适的。但是，如果在研究固结 沉降的问题中使用它就显得很不合适了。 ABAQUS 提供了一系列用于模拟岩土体的本构模型，本章将对常用的几种进行详细地分 析。读者应当注意有些模型的表达方式及参数与岩土力学教材中的略有差异。 本章要点： 应力状态的描述 弹性模型 塑性模型 算例分析 4.1 应力状态的描述 本书并不试图从原理上介绍本构模型， 而是重点讨论 ABAQUS 如何应用这些模型。 因此， 读者最好掌握一些力学基本知识。为方

3、便起见，这里简要介绍一些涉及到的名词。 4.1.1 应力张量 土体中一点的应力状态可以由应力分量来表示： xxyxz 111213 ij212223yxyyz 313233 zxzyz （4-1） 4.1.2 应力张量的分解 可将应力分量分解为偏应力s和平均应力p： psI （4-2） ABAQUS 在岩土工程中的应用 62 式中 1 ( ) 3 ptrac 是平均应力；ABAQUS 中又称为等效压应力（equivalent pressure stress） ；I是单位矩阵。 注意：由于 ABAQUS 以拉为正，而岩土工程常受到压应力，因此为方便起见 ABAQUS 令 1 ( ) 3 ptra

4、c 。 4.1.3 应力张量不变量和偏应力不变量 应力张量三个不变量为： 1xyz123 I （4-3） 222 2xyyzzxxyyzzx122331 ()I （4-4） 222 3xyzxy yz zxxyzy zxz xy123 2I （4-5） 偏应力张量实质上是一种特殊的应力张量，相应的三个不变量为： 1xyz123 0JSSSSSS （4-6） 222222 2xyzxyyzzx12233 1 1 2 JSSSSSSS SS SS S （4-7） 222 3xyzxyyzzxxyzyzxzxy123 2JS S SS S SS SS SS SS S S （4-8） 在这些不变量中，

5、最常用到的有两个，一个是 1 I，即前面提到的平均应力 1 ( ) 3 ptrac ； 另外一个是 2 J，读者可能更熟悉 2 3qJ的形式，即岩土工程中常说的偏应力，在 ABAQUS 中称为等效 Mises 偏应力（Mises equivalent stress） 。 4.1.4 应力空间 应力空间是一种物理空间，它是以 1 ， 2 ， 3 作为坐标轴而形成的三维空间，空间中的 每一个点表达了一种应力状态， 因而屈服面就可用应力空间中的曲面图形来表达。 通常将三维 空间转到两个特殊平面中进行分析： 等斜面：又称平面，该平面通过原点，其法线的三个方向的余弦都是 1 3 ，即与三 个坐标轴交角相

6、等。 子午线平面：通过原点与平面垂直的面称为子午线平面，常用pq平面表示。 提示：以上对应力张量的描述同样适用于应变张量。若本书无特殊说明，应力均为有效 应力。 4.2 弹性模型 4.2.1 线弹性模型 线弹性模型基于广义胡克定律，包括各向同性弹性模型、正交各向异性模型和各向异性 第 4 章 岩土工程中常用的本构模型 63 模型。线弹性模型适用于任何单元。 1各向同性弹性模型 各向同性线弹性模型的应力应变的表达式为： 1111 2222 3333 1212 1313 2323 1/000 /1/000 /1/000 0001/00 00001/0 000001/ EEE EEE EEE G G

7、 G （4-9） 这里涉及到的参数有两个，即弹性模型E和泊松比v，可以随温度和其他场变量变化。 提示：ABAQUS 中的大多数模型中的参数都可以与温度等场变量挂钩，从而实现参数在 分析过程中的变化。强度折减法就是利用了这一点。 2正交各向异性弹性模型 正交各向异性的独立模型参数为 3 个正交方向的杨氏模量 1 E、 2 E和 3 E，3 个泊松比 12 v、 13 v和 23 v，3 个剪切模量 12 G、 13 G和 23 G，其应力应变的表达式为： 11121231311 22121232322 33131232333 121212 131313 232323 1/000 /1/000 /

8、1/000 0001/00 00001/0 000001/ EEE EEE EEE G G G （4-10） 在正交各向异性模型中，如果材料的某个平面上的性质相同，即为横观各向同性弹性体， 假定 1-2 平面为各向同性平面， 那么有 E1E2Ep，31 32tp ，13 23pt 以及 G13G23Gt， 其中 p 和 t 分别代表横观各向同性体的横向和纵向，因此，横观各向同性体的应力应变表 达式为： ppptpt 1111 ppptpt 2222 ptpptpt 3333 1212p 1313 p 2323 p 1/000 /1/000 /1/000 0001/00 00001/0 0000

9、01/ EEE EEE EEE G G G （4-11） 其中， ppp 2 1GE。所以该模型的独立模型参数为 5 个。横观各向同性弹性模型的 用法与正交各向异性用法相同。 3各向异性弹性模型 完全各向异性的弹性模型的独立模型参数为 21 个，其应力应变表达式为： ABAQUS 在岩土工程中的应用 64 1111111111111111111111111111 222222223322122213222322 33333333123313332333 1212121213122312 131313132313 23232323 DDDDDD DDDDD DDDD DDD DD D （4-12

10、） 4线弹性模型的用法 （1）在 ABAQUS/CAE 中使用线弹性模型。 在 Property 模块中，执行【Material】/【Create】命令，在 Edit Material 对话框中执行 【Mechanical】/【Elasticity】/【Elastic】命令，此时对话框如图 4-1 所示。在 Type 下拉列表 中有以下几个选项： Isotropic：在 Data 数据列表填入各向同性弹性模量和泊松比。 Engineering Constants data：在 Data 数据列表设置正交各向异性的弹性参数。 Lamina：适用于定义平面应力问题的正交各向异性参数。 Orthot

11、ropic：在 Data 数据列表直接给出刚度矩阵的 9 个弹性刚度参数。 Anisotropic：在 Data 数据列表直接给出 21 个弹性刚度参数。 Traction 和 Coupled Traction 用于定义 Cohesive 单元的弹性参数，本书未涉及。 图 4-1 定义弹性模型 若勾选【No compression】和【No tension】复选框，可认为弹性模型不能受压或受拉。 （2）在 inp 输入文件中使用线弹性模型。 这三种弹性模型的关键字行语句是类似的，即： *Elastic，typeISOTROPIC （ENGINEERING CONSTANTS 或 ORTHOTR

12、OPIC 或 ANISOTROPIC;） 第 4 章 岩土工程中常用的本构模型 65 type 关键词的选项指定了弹性模型的种类，其中 ISOTROPIC（各向同性）是默认选项。 各选项符号的含义与前面介绍的图 4-1 中 Type 下拉列表的含义是一致的，这里不再赘述。 该关键字行需跟随数据行定义弹性参数。 4.2.2 多孔介质弹性模型 多孔介质弹性模型是一种非线性的各向同性弹性模型。 1模型基本理论 （1）体积应力应变关系。 该模型认为平均应力是体积应变的指数函数，更准确地说，弹性体积应变与平均应力的 对数成正比（如图 4-2 所示） ： 图 4-2 多孔介质弹性模型的体积应力应变关系 0

13、t 0 t ln1 1 el el el pp J epp （4-13） 式中 0 e是初始孔隙比； 0 p是初始平均应力； t el p是弹性状态的拉应力极限值； el J是弹 性体积应变；是对数体积模量，对于土体而言，其就是 lnep平面上的回弹曲线的斜率。 事实上，若将图 4-2 顺时针旋转 90 度后和土体压缩ep曲线是一致的。 （2）剪切应力应变关系。 多孔介质弹性模型的剪切应力应变关系为： 2 el Gse （4-14） 式中G为弹性剪切模量； el e为弹性偏应变，其余参数意义如前。 剪切模量的定义方式有两种： 直接给定剪切模量：剪切模量为常数。 给定泊松比：剪切模量由泊松比和体

14、积弹性模量确定，与平均应力也是相关的，即压 缩后剪切模量增加。 2多孔介质弹性模型的用法 （1）在 ABAQUS/CAE 中使用线弹性模型。 在 Property 模块中，执行【Material】/【Create】命令，在 Edit Material 对话框中执行 【Mechanical】/【Elasticity】/【Porous Elastic】命令，此时对话框如图 4-3 所示。在 Shear 下 拉列表中有两个选项【G】和【Poisson】 ，分别对应于直接定义剪切模量和按泊松比定义剪切 模量，其中默认按泊松比定义。当选中不同选项之后，在 Data 数据列表定义、v（或G） 和 t el

15、 p。 ABAQUS 在岩土工程中的应用 66 图 4-3 定义多孔介质弹性模型 注意：ABAQUS/CAE 不能定义 0 p和 0 e。 （2）在 inp 输入文件中使用线弹性模型。 在 inp 文件中通过以下语句定义多孔介质弹性模型： *Porous elastic,shear= Poisson（默认）或 G； Poisson 和 G 分别对应于图 4-3 Shear 下拉列表的两个选项。 、v（或G）和 t el p；数据行定义参数。 除此之外，还需以下面两个语句定义初始应力和初始孔隙比。 *Initial conditions，typestress；定义初始应力。 *Initial c

16、onditions，typeratio；定义初始孔隙比。 3多孔介质弹性模型使用注意事项 （1）多孔介质弹性模型只能用于 ABAQUS/Standard。 （2）多孔介质弹性模型可单独使用，也可作为以下弹塑性模型的弹性部分： 推广的（Extended）Drucker-Prager 模型。 修正的 Drucker-Prager 帽盖模型。 临界状态塑性（剑桥粘土）模型。 （ 3 ） 多 孔 介 质 弹 性 模 型 不 能 应 用 于 杂 交 元 或 平 面 应 力 单 元 ， 但 可 应 用 于 ABAQUS/Standard 中其他的所有应力/位移单元。 第 4 章 岩土工程中常用的本构模型

17、67 （4）若单元采用了沙漏控制，如果通过泊松比定义剪切模量，ABAQUS/Standard 无法自 动计算沙漏刚度，必须自己指定。 4.3 塑性模型 这里的塑性模型定义了弹塑性本构关系中的塑性部分，弹塑性本构关系中的弹性部分由 弹性模型定义。 4.3.1 Mohr-Coulomb（摩尔库仑）模型 Mohr-Coulomb 塑性模型主要适用于在单调载荷下颗粒状材料，在岩土工程中应用非常广 泛。 1模型基本理论 （1）屈服面。 Mohr-Coulomb 模型屈服面函数为： mc tan0FRqpc （4-15） 其中是q-p应力面上Mohr-Coulomb屈服面的倾斜角， 称为材料的摩擦角，09

18、0 ； c是材料的粘聚力； mc R，按下式计算，其控制了屈服面在平面的形状。 mc 11 sincostan 3333cos R （4-16） 是极偏角，定义为 3 3 cos 3 r q ，r 是第三偏应力不变量 J3。 图 4-4 给出了 Mohr-Coulomb 屈服面在子午面和面上的形状，由图可以比较其与 Drucker-Prager 屈服面，Tresca 屈服面，Mises 屈服面之间的相对关系。 图 4-4 Mohr-Coulomb 模型中的屈服面 （2）塑性势面。 由图 4-4 可见，Mohr-Coulomb 屈服面存在尖角，如采用相关联的流动法则（即塑性势面 ABAQUS 在

19、岩土工程中的应用 68 与屈服面相同） ，将会在尖角处出现塑性流动方向不是唯一的现象，导致数值计算的烦琐、收 敛缓慢。为了避免这些问题，ABAQUS 采用了如下形式的连续光滑的椭圆函数作为塑性势面， 其形状如图 4-5 所示。 2 2 mw 0 tantanGcRqp （4-17） 图 4-5 Mohr-Coulomb 模型中的塑性势面 式中是剪胀角； 0 c是初始粘聚力，即没有塑性变形时的粘聚力。为子午面上的偏心 率，它控制了 G 在子午面上的形状与函数渐近线之间的相似度。若0.0，塑性势面在子午 面上将是一条倾斜向上的直线，ABAQUS 中默认为 0.1。 mw Re， ，则控制了其在面上

20、 的形状，由下式计算： 2 22 mwmc 2 222 4 1cos21 3 2 1cos214 1cos54 ， ee RR eeeee （4-18） e是面上的偏心率， 主要控制了面上0 3 的塑性势面的形状。 默认值由下式计算： 3sin 3sin e （4-19） 按照上式计算的e可保证塑性势面在面受拉和受压的角点上与屈服面相切。 当然用户也 可指定e的大小，但其范围必须为：0.51.0e。图 4-5 给出了不同的大小对应的塑性势面。 （3）硬化规律。 ABAQUS 中的 Mohr-Coulomb 模型可以考虑屈服面大小的变化，即硬化或软化，通过控 制凝聚力c的大小来实现的。用户必须指

21、定c与等效塑性应变（Equivalent plastic strain）之间 的变化关系，通常通过表格输入。 2Mohr-Coulomb 模型的用法 （1）在 ABAQUS/CAE 中使用 Mohr-Coulomb 模型。在 Property 模块中，执行【Material】 /【Create】命令，在 Edit Material 对话框中执行【Mechanical】/【Plasticity】/【Mohr coulomb plasticity】 命令， 此时对话框如图 4-6 所示。 通过对话框上的 Deviatoric eccentricity 和 Meridional eccentrici

22、ty 可以分别定义面上的偏心率e和子午面上的偏心率，一般无需变动。在 Edit Material 的 Plasticity 的选项卡中用户可以指定 Friction angle（摩擦角）和 Dilation angle（剪胀 角） ；在 Hardening 选项卡中用户可以指定 Cohesion Yield Stress（粘聚力）和 Abs Plastic Strain 第 4 章 岩土工程中常用的本构模型 69 （塑性应变） ，若不指定塑性应变，ABAQUS 认为粘聚力保持不变，即为理想线弹塑性模型。 图 4-6 定义 Mohr-Coulomb 模型 （2）在 inp 输入文件中使用 Moh

23、r-Coulomb 模型。定义 Mohr-Coulomb 模型的关键字行语 句有两条： *Mohr coulomb，DEVIATORIC ECCENTRICITY=e（可选） ，ECCENTRICITY=（可选） ，；摩擦角和剪胀角。 *Mohr coulomb hardening；该语句定义凝聚力。 c， pl ；粘聚力和对应的塑性应变，该行可重复多次。 3Mohr-Coulomb 模型的使用注意事项 （1）Mohr-Coulomb 模型只适用于 ABAQUS/Standard。 （2）Mohr-Coulomb 模型需和线弹性模型联合使用。 （3）由于 Mohr-Coulomb 模型采用了非

24、关联流动法则，因此必须采用非对称求解器，尤 其是对应极限承载力分析的情况，否则可能会出现计算不易收敛的情况。 提示：非对称算法在 Edit step 对话框中的 Other 选项卡中进行设置。 （4）除了一维单元和平面应力类单元外，Mohr-Coulomb 模型可用于 ABAQUS/Standard 中的任何具有位移自由度的单元。 （5）Mohr-Coulomb 模型中的粘聚力必须大于 0，对于砂土等材料，可将粘聚力取一较 小值。 （6）剪胀角的取值必须慎重，一些分析人员喜欢将其选为与摩擦角相同，这意味着在剪 切过程总会产生无限制的体积膨胀现象，与土体实际性状并不吻合。 ABAQUS 在岩土工

25、程中的应用 70 （7）Mohr-Coulomb 模型没有考虑率相关性。 4.3.2 扩展的 Drucker-Prager 模型 ABAQUS 对经典的 Drucker-Prager 模型进行了扩展，屈服面在子午面的形状则可以通过 线性函数、双曲线函数或指数函数模型模拟，其在面上的形状也有所区别。 1线性 Drucker-Prager 模型 （1）屈服面。线性 Drucker-Prager 模型的屈服面如图 4-7 所示，函数为： tan0Ftpd （4-20） 图 4-7 线性 Drucker-Prager 模型的屈服面 式中 3 11 11 2 qr t kkq ，这里不采用q作为偏应力是

26、为了反映中主应力的影响。 是屈服面在pt应力空间上的倾角，与摩擦角有关。 k是三轴拉伸强度与三轴压缩强度之比，反映了中主应力对屈服的影响， 为了保证屈服面 是凸面，要求0.7781.0k。不同的k的屈服面在面上的形状是不一样的，参照图 4-7。 当1k 时，有tq，此时屈服面为米塞斯屈服面的圆形。 d是屈服面在pt应力空间t轴上的截距，可按如下方式确定： c (1 1 3tan)d ，根据单轴抗压强度 c 定义。 t (11 3tan)dk ，根据单轴抗压强度 t 定义。 31 1 2 d k ，根据剪切强度定义。 （2）塑性势面。线性 Drucker-Prager 模型的塑性势面如图 4-8

27、 所示，函数为： tanGtp （4-21） 由于塑性势面与屈服面不相同，流动法则是非关联的。 需要指出当，1k 时线性 Drucker-Prager 模型即退化为经典的 Drucker-Prager 模型。 （3）硬化规律。硬化规律的实质是控制屈服面大小的变化。ABAQUS 中的扩展 Drucker-Prager 模型允许屈服面放大（硬化）或缩小（软化） 。屈服面大小的变化是由某一个等 效应力控制的，用户通过给出与等效塑性应变 pl 的关系来控制，其中等效塑性应变为 d plpl t。针对线性 Drucker-Prager 模型，ABAQUS 中提供了以下三种形式： 取为单轴抗压强度 c ，

28、 11 pl pl dd。 第 4 章 岩土工程中常用的本构模型 71 取为单轴抗压强度， 11 pl pl dd。 取为凝聚力d， 3 pl pld d 。 图 4-8 线性 Drucker-Prager 模型的塑性势面 2双曲线 Drucker-Prager 模型 （1）屈服面。双曲线 Drucker-Prager 模型的屈服面如图 4-9 所示，是由 Rankine 最大拉应 力状态和高围压下线性 Drucker-Prager 应力状态组合而成的连续函数，函数形式为： 22 0 tan0Flqpd （4-22） 式中 0t 00 tanldp， t0 p为材料的初始平均应力抗拉强度； 为

29、高围压下的摩擦角，如图 4-9 所示。 d为硬化参数， 0 d为d的初始值可按如下方式确定： 22c 0c tan 3 l ，根据单轴抗压强度 c 定义。 22t 0t tan 3 l ，根据单轴抗压强度 t 定义。 22 0 ld，根据粘聚力定义。 提示：由于屈服面函数中未包含第三应力不变量，其在面是一个圆形。 图 4-9 双曲线 Drucker-Prager 模型的屈服面 （2）塑性势面。双曲线 Drucker-Prager 模型的塑性势面如图 4-10 所示，函数为： 2 2 0 | tantanGqp （4-23） ABAQUS 在岩土工程中的应用 72 图 4-10 双曲线 Druc

30、ker-Prager 模型的塑性势面 式中为子午面上的偏心率，它控制了 G 在子午面上的形状与函数渐近线之间的相似度， ABAQUS 会自动根据采用的模型设置默认值，用户无需理会。其余参数意义如前。 类似地，当时退化为相关联的流动法则。 （3）硬化规律。双曲线 Drucker-Prager 模型的屈服面硬化思路（如图 4-11 所示）和线性 Drucker-Prager 模型是一致的，只不过，等效塑性应变的定义有所区别，其为 : pl pld d 。 图 4-11 双曲线 Drucker-Prager 模型屈服的硬化 3指数 Drucker-Prager 模型 （1）屈服面。指数 Drucke

31、r-Prager 模型的屈服面如图 4-12 所示，其函数形式为： t 0 b Faqpp （4-24） 图 4-12 指数 Drucker-Prager 模型的屈服面 式中 a 与 b 是与塑性变形无关的材料参数。pt是硬化参数，表示材料的抗拉强度，按下列 方式确定： 第 4 章 岩土工程中常用的本构模型 73 tcc 3 b pa，根据单轴抗压强度 c 定义。 ttt 3 b pa，根据单轴抗压强度 t 定义。 t b pad，根据粘聚力定义。 提示：由于屈服面函数中未包含第三应力不变量，其在面是一个圆形。 （2）塑性势面。指数 Drucker-Prager 模型的塑性势面与双曲线 Dru

32、cker-Prager 模型相同。 （3）硬化规律。指数 Drucker-Prager 模型采用 pt作为硬化参数（如图 4-13 所示） ，此时 等效塑性应变的定义与双曲线 Drucker-Prager 模型相同，即 : pl pld d 图 4-13 指数 Drucker-Prager 模型屈服的硬化 4Drucker-Prager 模型的用法 （1）在 ABAQUS/CAE 中使用 Drucker-Prager 模型。在 Property 模块中，执行【Material】 /【Create】命令，在 Edit Material 对话框中执行【Mechanical】/【Plasticity

33、】/【Drucker Prager】 命令，此时对话框如图 4-14 所示。对话框的 Shear criterion 下拉列表中有三个选项，Linear、 Hyperbolic 和 Exponent form，分别对应于线性、双曲线和指数模型。随着选项不同，Data 数 据列表所需要设置的参数也不同： Linear：设置、k和。 Hyperbolic：设置、 t0 p和。 Exponent form：设置a、b和。 在如图 4-14 所示右侧的 Suboptions 选项中， 选择 Drucker Prager Hardening， 弹出如图 4-15 所示的 Suboption Editor

34、 对话框，在该对话框中用户可以选择硬化的模式，并设置硬化参数随 塑性应变的变化。 对于指数 Drucker-Prager 模型，用户可以通过 Suboptions 选项中的 Triaxial Test Data 命令（如图 4-15 所示）直接拟合模型参数，此时之前定义的硬化性质将被覆盖。 提示：在通过试验数据拟合参数时，用户可指定a、b和 t p中的部分参数，ABAQUS 会 自动拟合余下的参数。 （2）在 inp 输入文件中使用 Drucker-Prager 模型。定义 Drucker-Prager 模型的关键字行语 句为： *DRUCKER PRAGER, SHEAR CRITERION

35、=LINEAR 或 HYPERBOLIC 或 EXPONENT FORM；关键字 SHEAR CRITERION 指定了 Drucker-Prager 模型类别。 ABAQUS 在岩土工程中的应用 74 图 4-14 定义 Drucker-Prager 模型 图 4-15 定义 Drucker-Prager 模型的硬化参数 、k 或、 t0 p、或a、b、。针对不同选项，数据行应定义相应的参数。如 图 4-16 所示。 *DRUCKER PRAGER HARDENING，TYPE=COMPRESSION (默认)或 TYPE=TENSION 或 TYPE=SHEAR； type 选项指定了硬化

36、的规律 ， pl ；硬化参数，等效塑性应变，可重复多行。 第 4 章 岩土工程中常用的本构模型 75 图 4-16 三轴试验数据获得 Drucker-Prager 模型的参数 5模型参数的实验标定 岩土体本构模型的参数通常用三轴实验获得（如图 4-17 所示） ，用户在实验曲线上选择合 适的点重新绘到应力空间中以便确定模型参数。 图 4-17 利用三轴实验确定模型参数 实验数据标定模型参数看似很简单，只要将实验数据点标在相应的应力空间，然后按照 模型理论进行拟合。但是，这其中要特别注意实验结果的表达方式，如偏应力用的是q还是t。 这里将三轴实验中的应力变量符合含义解释如下： （1）三轴压缩试验

37、。 在三轴压缩试验中，试件受到均布围压，然后在某一个方向上受到附加的压应力。这样， 三个主应力均为负值，即： 123 0 （4-25） 因而有： 13 1 (2) 3 p （4-26） 13 q （4-27） 3 3 13 r （4-28） 13 tq （4-29） ABAQUS 在岩土工程中的应用 76 （2）三轴拉伸试验。 在三轴压缩实验中，试件受到均布围压，然后在某一个方向压力减小。三个主应力的关 系为： 123 0 （4-30） 因而有： 13 1 (2) 3 p （4-31） 13 q （4-32） 3 3 13 r （4-33） 13 1q t KK （4-34） 提示：ABAQU

38、S 中应力符号与土力学中相反。 6Drucker-Prager 模型与 Mohr-Coulomb 模型参数之间的关系 Drucker-Prager 模型与 Mohr-Coulomb 模型的参数并不相等。 如 Mohr-Coulomb 的摩擦角 不同于 Drucker-Prager 的角。但两个模型之间的参数是可以互换的。 （1）平面应变问题。 由于是平面应变问题，可以假定1k 。Drucker-Prager 模型与 Mohr-Coulomb 模型的参数 之间有如下关系： 2 tan3 9tan sin 9tantan （4-35） 2 3 9tan cos 9tantan （4-36） 对于相

39、关联的流动法则，从而得： 2 3sin tan 1 1sin 3 （4-37） 2 3cos 1 1sin 3 d c （4-38） 对于非相关联流动法则，由0，可得： tan3sin （4-39） 3cos d c （4-40） 相关联流动与非相关联流动法则，两者的差异是随着摩擦角的增加而减小的，对于典型 的摩擦角，两者的差异并不大，如表 4-1 所示。 第 4 章 岩土工程中常用的本构模型 77 表 4-1 Mohr-Coulomb 与 Drucker-Prager 参数相互转化表 相关联流动 非相关联流动 Mohr-Coulomb 摩擦角 Drucker-Prager 摩擦角 d/c D

40、rucker-Prager 摩擦角 d/c 10 16.7 1.70 10 1.70 20 30.2 1.60 10 1.63 30 39.8 1.44 10 1.50 40 46.2 1.24 10 1.33 50 50.5 1.02 10 1.11 （2）三维问题。 三维问题中 Mohr-Coulomb 模型与 Drucker-Prager 模型参数的转换关系如下： 6sin tan 3sin （4-41） 3sin 3sin k （4-42） 0 c cos 2 1sin c （4-43） 在线性 Drucker-Prager 模型中，为了使屈服面保持为凸面，需要0.7781.0k。而式

41、 （4-42）又可写成： 1 sin3 1 K K （4-44） 上式意味着22，而工程中许多实际材料的摩擦角都大于 22，此时可选择 0.778K ，同时用式（4-41）求出，用式（4-43）定义 0 c 来进行处理。这样处理仅在三轴 压缩的情况下是正确的。因此若摩擦角比 22大很多，建议实验 Mohr-Coulomb 模型。 7Drucker-Prager 模型的使用注意事项 （1）线性 Drucker-Prager 模型可用于 ABAQUS/Standard 和 ABAQUS/Explicit，双曲线和 指数 Drucker-Prager 只能用于 ABAQUS/Standard。 （2

42、）Drucker-Prager 模型可和线弹性模型或多孔介质弹性模型联合使用。 （3）由于 Drucker-Prager 模型采用了非关联流动法则，因此必须采用非对称求解器。 （4）Drucker-Prager 模型可用于平面应变、广义平面应变、轴对称和三维单元，除了考虑 率效应的线性 Drucker-Prager 模型之外，其余模型也可用于平面应力单元。 （5）Drucker-Prager 模型可考虑率相关性。 4.3.3 修正 Drucker-Prager 帽盖模型 前面介绍的 Mohr-Coulomb 模型和 Drucker-Prager 模型最大的问题在于其不能反映土体压 缩导致的屈服

43、，也就是说在等向压应力作用下，材料永远不会屈服，这显然与土体的特性是不 吻合的。为了解决这一问题，ABAQUS 提供了修正 Drucker-Prager 帽盖模型，其是在线性的 Drucker-Prager 模型上增加一个帽盖状的屈服面，从而引入了压缩导致的屈服，同时也能控制 材料在剪切作用下的无限制剪胀现象。 ABAQUS 在岩土工程中的应用 78 1模型基本理论 （1）屈服面。 修正的 Drucker-Prager 帽盖模型的屈服面如图 4-18 所示。由图可见，屈服面主要由两段 组成，Drucker-Prager 给出的剪切破坏面和右侧的帽盖曲面。注意，这里称为剪切“破坏面” ， 意味着

44、这一部分不会发生硬化， 即是理想的塑性， 在后面的流动法则中我们会看到该处的塑性 变形增量方向指向左上方，即发生剪胀变形，造成体积增加，随着会造成帽盖的缩小（软化） 。 帽盖面是一个椭圆曲线，其实可以放大或缩小的（与塑性体积应变有关） 。在剪切破坏面和帽 盖屈服面之间 ABAQUS 用渐变曲线光滑连接。 图 4-18 修正 Drucker-Prager 帽盖模型的屈服面 剪切破坏面为： s tan0Ftpd （4-45） 帽盖面为： 2 2 caatan 0 1/cos Rt FppR dP （4-46） 式中 R 是控制帽盖几何形状的参数；是一个数值很小的数，决定了过渡区的形状，会 在后面讨

45、论； b p是帽盖面与p轴的交点， 称为压缩屈服平均应力 （hydrostatic compression yield stress） ，控制了帽盖的大小。 a p是帽盖面与过渡面交点对应的p值，由下式确定： b a 1tan pRd p R （4-47） 过渡面为： 2 2 taaa 1tantan0 cos Fpptdpdp （4-48） 这里的是一个数值很小的数，通常为0.010.05。0表示没有过渡区，此时由 于帽盖面的法线方向都指向右侧（体积压缩） ，帽盖面上不会出现软化；取得越大其过渡面 的曲率也就越大，有利于拟合剪切破坏数据点。 第 4 章 岩土工程中常用的本构模型 79 （2）

46、塑性势面。 修正 Drucker-Prager 帽盖模型的塑性势面同样也采用几段组成（如图 4-19 所示） ，其在帽 盖面上是相关联的，而在剪切破坏面和过渡区是非关联的。 图 4-19 修正 Drucker-Prager 帽盖模型的塑性势面 帽盖面上的塑性势面函数为： 2 2 ca 1/cos Rt Gpp （4-49） 剪切破坏面和过渡区的塑性势面函数为： 2 2 sa tan 1/cos t Gpp （4-50） （3）硬化规律。 修正 Drucker-Prager 帽盖模型中的硬化参数为 b p，用户可以分段指定 b p与塑性体积应变 vol pl 的关系（如图 4-20 所示） 。图

47、 4-20 中的 vol cr 是蠕变引起的塑性体积应变，塑性体积应变轴 的原点可取任意值。 volvolvol 000 inplcr 为分析开始时材料的初始状态在该轴上对应的位置， 这就定义了分析开始时帽盖的位置，或称初始屈服面大小。 图 4-20 b p与 vol pl 的关系 ABAQUS 在岩土工程中的应用 80 2修正 Drucker-Prager 帽盖模型的用法 （1）在 ABAQUS/CAE 中使用修正 Drucker-Prager 帽盖模型。 在 Property 模块中，执行【Material】/【Create】命令，在 Edit Material 对话框中执行 【Mecha

48、nical】/【Plasticity】/【Cap Plasticity】命令，此时对话框如图 4-21 所示。Data 数据列 表中需要设置的参数有： Material Cohesion：pt平面上的粘聚力d。 Angle of Friction：pt平面上的摩擦角。 Cap Eccentricity：R，需大于 0。 Init Yld Surf Pos：定义初始屈服面位置 vol 0 in 。 Transition Surf Rad：，包含蠕变效应时0。 FlowStress Ratio：k，三轴拉伸强度与三轴压缩强度之比。 在如图 4-21 所示右侧的 Suboptions 选项中，选择

49、Cap Hardening，在弹出 Suboption Editor 对话框中用户可以通过表格给定 b p随 vol pl 的变化。 图 4-21 Edit Material 对话框 提示：需要将对话框向右放大才能显示所有参数选项。 （2）在 inp 输入文件中使用修正 Drucker-Prager 帽盖模型。 定义修正 Drucker-Prager 帽盖模型的关键字行语句为： *CAP PLASTICITY d，R， vol 0 in ，0，k *CAP HARDENING b p， vol pl ；该行可重复多次。 第 4 章 岩土工程中常用的本构模型 81 3修正 Drucker-Pra

50、ger 帽盖模型的使用注意事项 （1）修正 Drucker-Prager 帽盖模型可用于 ABAQUS/Standard 和 ABAQUS/Explicit。 （2）修正 Drucker-Prager 帽盖模型可和线弹性模型或多孔介质弹性模型联合使用。 （3）修正 Drucker-Prager 帽盖模型采用了非关联流动法则，因此必须采用非对称求解器。 （4）修正 Drucker-Prager 帽盖模型可用于平面应变、广义平面应变、轴对称和三维单元， 不能用于平面应力单元。 （5） 用户必须定义初始应力条件， 如果初始应力状态点落在初始帽盖面的外侧， ABAQUS 会自动调整帽盖面的初始位置，

51、使得应力状态点落在帽盖面上。 但如果初始应力状态点落在剪 切破坏面的外侧，ABAQUS 将不能继续计算。 （6）修正 Drucker-Prager 帽盖模型可考虑率相关性，如蠕变效应。 （7）若使用了修正 Drucker-Prager 帽盖模型，此时输出变量 PEEQ 不再代表等效塑性应 变，而是帽盖的位置 b p。 4.3.4 临界状态塑性模型（Critical state plasticity model） 临界状态塑性模型，我们更习惯称之为（修正）剑桥模型，是由英国剑桥大学 Roscoe 等 人建立的一个有代表性的土的弹塑性模型， 该模型采用了椭圆屈服面和相适应的流动准则， 并 以塑性体

52、应变为硬化参数，在国际上已被广泛接受和应用。ABAQUS 中对 Roscoe 等人提出的 剑桥模型做了一定的推广，但本质上是一致的。 1模型的基本理论 （1）屈服面。剑桥模型的屈服面如图 4-22 所示，ABAQUS 内的屈服面函数与土力学中 的表达形式虽略有差异，但实质上都是一样的： 22 2 1 110 pt aMa （4-51） 式中M是临界状态线（critical state line，CSL）在 p-t 平面上的斜率；a是椭圆与 CSL 线 的交点所对应的p大小。是控制屈服面形状的参数，在tMp的一侧1；在tMp的一 侧，可不等于 1，影响该侧屈服面的形状。 图 4-22 剑桥模型的

53、屈服面 （2）塑性势面。剑桥模型采用相关联的流动法则，即塑性势面与屈服面相同。 （3）硬化规律。常规土力学中的剑桥模型1，以椭圆屈服面与p轴的交点的p值大小 ABAQUS 在岩土工程中的应用 82 c p来控制屈服面大小的变化。在 ABAQUS 中，由于可不等于 1，因而用前面提到的a作为 硬化参数，两者之间的关系为 c 1ap，当1时，有 0 2ap。 ABAQUS 提供了两种方式定义硬化规律： 指数形式（Exponential form） ：以土体为例，若将等向固结压缩曲线绘制在 lnep空 间上，有dd ln ep，因而积分后可得： 00 1 exp1 pl pl J aae kJ （4

54、-52） 式中 pl J是名义塑性体积应变 0 (1) (1)ee； 0 e是初始孔隙比，是等向固结压 缩曲线在 lnep上的斜率。k是多孔介质弹性对数体积模量。 0 a反映了初始屈 服面大小，可以直接给定，或者由下式计算： 100 0 ln1 exp 2 eekp a k （4-53） 式中是 lnep上ln0p 处的孔隙比。 分段直线形式（Piecewise linear form） ：用户通过数据列表给出 c p与塑性体积应 变 vol pl 的关系，ABAQUS 根据 c 1ap计算a。 2剑桥模型的用法 （1）在 ABAQUS/CAE 中使用剑桥模型。 在 Property 模块中，

55、执行【Material】/【Create】命令，在 Edit Material 对话框中执行 【Mechanical】/【Plasticity】/【Clay Plasticity】命令，此时对话框如图 4-23 所示。Data 数据 列表需要设置的参数为： 图 4-23 定义剑桥模型 第 4 章 岩土工程中常用的本构模型 83 Log Plas Bulk Mod： Stress Ratio：M Init Yld Surf Size： 0 a Wet Yld Surf Size： FlowStress Ratio：k 注意：若在对话框的 Intercept 输入框中输入 1 e，代表根据初始应力

56、和孔隙比按理论公式 计算 0 a，此时无须在 Data 数据列表中设置 0 a。若在 Hardening 下拉列表中选择了 Tabular， 则需通过对话框右侧的 Suboptions 选项定义 c p与 vol pl 的关系。 （2）在 inp 输入文件中使用剑桥模型。 定义剑桥模型的关键字行语句为： *CLAY PLASTICITY，HARDENING=EXPONENTIAL，INTERCEPT= 1 e；当包含 INTERCEPT 选项时， 数据行的 0 a无效。 ，M， 0 a，k 或者： *CLAY PLASTICITY，HARDENING= TABULARI；此时不能采用 INTE

57、RCEPT 选项 ，M， 0 a，k *CLAY HARDENING c p， vol pl ；定义 c p与 vol pl 的关系，该行可重复。 3剑桥模型的使用注意事项 （1）剑桥模型只能用于 ABAQUS/Standard。 （2）剑桥模型必须和多孔介质弹性模型联合使用。 （3）剑桥模型采用了相关联流动法则，可以采用对称求解器。 （4）剑桥模型可用于平面应变、广义平面应变、轴对称和三维单元，不能用于平面应力 单元。 （5）用户必须定义初始应力和初始孔隙比，如果初始应力状态点落在屈服面外侧， ABAQUS 会自动调整初始屈服面的位置。 （6）若使用了修正剑桥模型，此时输出变量 PEEQ 不再代表等效塑性应变，而是 0 a。 （7）ABAQUS 中的剑桥模型表达形式与土力学中的表达形式略有差异，使用时要注意参 数之间的关系。 4.4 算例分析 本小节将结合一个算例来介绍本构模型及上一章所介绍的无限元在岩土工程中的应用。 本算例的 cae 文件名为 chp4ex4-1-mc.cae（详见网站） 。 4.4.1 采用不考虑剪胀的 MohrCoulomb 模型