这篇文章和大家聊聊矩阵的初等变换和矩阵的秩。

矩阵的初等变换这个概念可能在很多人听来有些陌生，但其实我们早在初中的解多元方程组的时候就用过它。只不过在课本当中，这种方法叫做消元法。我们先来看一个课本里的例子：

假设我们要解这个方程，怎么做呢？

首先，我们把(1)式加到(2)式，把(4)式加到(3)式，把(1)式乘6加到(4)式可以得到：

我们再把(4)式减去(2)式乘5，可以解出x4=−3：

我们把x4=−3带入，可以解出x1, x2, x3。

因为消元之后，方程组的数量少于变量的数量，我们无法解出所有的变量。其中的x3可以取任何值。

上面这个计算的方法我们都非常熟悉，如果我们用一个矩阵来表示所有的次数，那么这个矩阵D可以写成：

那么，我们刚才消元的过程，其实就是对这个矩阵做初等变换。我们把这个过程总结一下，矩阵的初等变换操作包含以下三种：

以上的三种都是针对行为单位的，因此上面的三种变换也称为“行变换”。同样我们也可以对列做如上的三种操作，称为“列变换”。行变换和列变换结合就是矩阵的初等变换。

同样，我们可以对D这个矩阵使用刚才我们上述的初等变换操作，将它变成如下这个结果：

它就对应方程组：

Dt矩阵是经过初等行变换的结果，我们还可以再对它进行列变换，将它变得更简单，我们只要交换第三和第三列，之后就可以通过初等列变换把第五列消除，之后它就变成了下面这个样子：

我们用数据归纳法可以很容易证明，所有的m*n的矩阵经过一系列初等变换，都可以变成如下的形式：

r就是最简矩阵当中非零行的行数，它也被称为矩阵的秩。我们把A矩阵的秩记作: R(A)

之前我们在介绍行列式的时候说过，行列式还存在多种性质。其中之一就是一个矩阵经过初等变换，它的行列式保持不变。我们又知道，如果行列式当中存在某一行或者某一列全部为0，那么它的行列式为0。

所以，我们可以得到，对于n阶矩阵A而言，如果它的秩R(A)