如图 1 ， △ ABC 是等边三角形，点 D 在 △ ABC 的内部，连接 AD ，将线段 AD 绕点 A 按逆时针方向旋转 60° ，得到线段 AE ，连接 BD ， DE ， CE ．

(1) 判断线段 BD 与 CE 的数量关系并给出证明；

(2) 延长 ED 交直线 BC 于点 F ．

① 如图 2 ，当点 F 与点 B 重合时，直接用等式表示线段 AE ， BE 和 CE 的数量关系为 _______ ；

② 如图 3 ，当点 F 为线段 BC 中点，且 ED ＝ EC 时，猜想 ∠ BAD 的度数，并说明理由．

答案

(1) ，理由见解析

(2)① ； ② ，理由见解析

【分析】（ 1 ）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到 ，再由全等三角形的性质求解；

（ 2 ） ① 根据线段 绕点 A 按逆时针方向旋转 得到 得到 是等边三角形，

由等边三角形的性质和（ 1 ）的结论来求解； ② 过点 A 作 于点 G ，连接 AF ，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到 ， ，进而得到 ，进而求出 ，结合 ， ED ＝ EC 得到 ，再用等腰直角三角形的性质求解．

（ 1 ）

解： ．

证明： ∵ 是等边三角形，

∴ ， ．

∵ 线段 绕点 A 按逆时针方向旋转 得到 ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

即 ．

在 和 中

，

∴ ，

∴ ；

（ 2 ）

解： ①

理由： ∵ 线段 绕点 A 按逆时针方向旋转 得到 ，

∴ 是等边三角形，

∴ ，

由（ 1 ）得 ，

∴ ；

② 过点 A 作 于点 G ，连接 AF ，如下图．

∵ 是等边三角形， ，

∴ ，

∴ ．

∵ 是等边三角形，点 F 为线段 BC 中点，

∴ ， ， ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

即 ，

∴ ，

∴ ．

∵ ， ，

∴ ，

即 是等腰直角三角形，

∴ ．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．