什么是李雅普诺夫函数 |
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对于某些类型的常微分方程,李雅普诺夫函数的存在性是其稳定性的充要条件。尽管对于常微分方程没有构造李雅普诺夫函数的一般方法,但在许多特定情况下,李雅普诺夫函数的构造是已知的。例如,二次函数满足一个状态的系统的李雅普诺夫函数;一个特定线性矩阵不等式的解为线性系统提供了李雅普诺夫函数;守恒律 Conservation law 通常可以用来构造物理系统的李雅普诺夫函数。 2. 李雅普诺夫函数的定义 对于一个自治动力系统 y=0 是它的一个平衡点,其李雅普诺夫函数是一个标量函数:,该函数连续、具有连续的一阶导数且局部正定, 也是局部正定的。有时把 局部正定的条件表述为 是局部负定的。 3. 相关术语 对李雅普诺夫函数出现在动力系统平衡点的研究中。在 空间中,任意一个自治动力系统都可以被写成: 对于一些平滑的函数: 平衡点是一个满足 的点y∗。给定一个平衡点y∗,总是存在一个坐标变换x=y−y∗,使得: 因此在研究平衡点时,只要需要假设平衡点出现在0处。 根据链式法则,对于任意函数 ,函数沿动力学系统解取值的时间导数为: 函数H 被定义为局部 正定函数 positive-definite function(在动力系统的意义上),如果H(0)=0并且有一个邻域B使得 4. 自治系统的基本李雅普诺夫定理 令 是如下自治系统的平衡点 并使用 表示李雅普诺夫候选函数 Lyapunov-candidate-function V的时间导数: 局部渐进稳定平衡点 Locally asymptotically stable equilibrium 如果平衡点是孤立的,李雅普诺夫候选函数V是局部正定的,其时间导数是局部负定的: 对于原点的某些邻域 ,可以证明平衡点是局部渐近稳定的。 稳定平衡点 Stable equilibrium 如果V是李雅普诺夫函数,那么平衡点是李雅普诺夫稳定的。 反之亦然,J. L. Massera证明了这一点。 全局渐进稳定平衡点 Globally asymptotically stable equilibrium 如果李雅普诺夫候选函数V是全局正定、径向无界的,平衡点是孤立的,且李雅普诺夫候选函数的时间导数是全局负定的: 可以证明平衡点是全局渐近稳定的。 如果满足: 李雅普诺夫候选函数 是径向无界的。(这也被称为范数强制。) 5. 例子 在统计学和经济学中,因果关系通常通过回归分析来检验。 考虑下面具有 上的解x的微分方程: 考虑到 在原点附近始终为正,因此自然而然地成为帮助我们研究x的李雅普诺夫候选函数。 令 在 上。然后有 这正表明上面的微分方程 x关于原点是渐近稳定的。注意,使用相同的李雅普诺夫候选函数可以证明该平衡点也是全局渐近稳定的。 课程推荐 本课程主要讲授连续和离散动力系统的定态、极限环及其稳定性分析、动力学系统的结构稳定性和常见的分支类型以及分析方法,混沌概念等。 课程名称:动力系统分析 课程地址:https://campus.swarma.org/course/1641 课程名称:动力系统分析 课程地址:https://campus.swarma.org/course/1641 7.百科项目志愿者招募 作为集智百科项目团队的成员,本文内容由 Jxzhou、Ruili、薄荷参与贡献。我们也为每位作者和志愿者准备了专属简介和个人集智百科主页,更多信息可以访问其集智百科个人主页。 以上内容都是我们做这项目的起点,作为来自不同学科和领域的志愿者,我们建立起一个有效的百科团队,分配有审校、翻译、编辑、宣传等工作。我们秉持:知识从我而来,问题到我为止的信念,认真负责编撰每一个词条。 点击图片看一看这一周我们做了啥 在这里从复杂性知识出发与伙伴同行,同时我们希望有更多志愿者加入这个团队,使百科词条内容得到扩充,并为每位志愿者提供相应奖励与资源,建立个人主页与贡献记录,使其能够继续探索复杂世界。 如果你有意参与更加系统精细的分工,扫描二维码填写报名表,我们期待你的加入! 集智百科报名表 来源:集智百科 编辑:曾祥轩 来源:集智百科 编辑:曾祥轩返回搜狐,查看更多 |
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