基于MATLAB的最小二乘法拟合与拟合工具箱使用教程(附完整代码与算法) |
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一. 最小二乘曲线拟合
给定一组数据满足某一函数模型,其中a为待定系数向量。 那么,最小二乘曲线拟合的目标就是:求出一组待定系数的值,使得以下表达式子最小: 在MATLAB中格式如下: [a,jm]=lsqcurvefit(Fun,a0,x,y) %Fun原型函数的MATLAB表示 %a0为最优化的初值 %x,y为原始输入输出的数据向量 %a为返回的待定系数向量 %jm为此待定系数下的目标函数的值 例题1由以下MATLAB代码生成一组数据: x=0:.1:10; y=0.12*exp(-0.213*x)+0.54*exp(-0.17*x).*sin(1.23*x);该组数据满足y(x),求出待定系数,使得目标函数的值为最小。 解: MATLAB代码如下: clc;clear; x=0:0.1:10; y=0.12*exp(-0.213*x)+0.54*exp(-0.17*x).*sin(1.23*x); f=inline('a(1)*exp(-a(2)*X)+a(3)*exp(-a(4)*X).*sin(a(5)*X)','a','X'); ff=optimset; ff.TolFun=1e-20;ff.TolX=1e-15; %修改精度限制 [xx,res]=lsqcurvefit(f,[1 1 1 1 1],x,y,[],[],ff) %绘制曲线 x1=0:0.01:10; y1=f(xx,x1); %代入运算 plot(x1,y1,x,y,'o'); legend('拟合曲线','原数据点')运行结果: xx = 0.120000000000000 0.213000000000000 0.540000000000000 0.170000000000000 1.230000000000000 res =0 例题2 已知以下数据可能满足。求满足数据的最小二乘解a,b,c,d的值。 解: 令,将原函数写成如下: MATLAB代码如下: clc;clear; %输入已知参数 x=0.1:0.1:1; y=[2.3201,2.6470,2.9707,3.2885,3.6008,3.9090,4.2147,4.5191,4.8232,5.1275]; f=inline('a(1)*X+a(2)*X.^2.*exp(-a(3)*X)+a(4)','a','X'); a=lsqcurvefit(f,[1 2 2 3],x,y) %绘制曲线 y1=f(a,x); plot(x,y1,x,y,'o'); legend('拟合曲线','原数据点');运行结果: a = 3.100076146500888 1.502655931856580 4.004634473891176 2.000013871079962 在MATLAB中,非线性拟合命令格式如下: [beta,r,J]=nlinfit(x,y,fun,beta0) %x,y为原始数据 %fun是在M文件中定义的函数 %beta0是函数中参数的初始值 %beta为参数的最优值 %r是各点处的拟合残差 %J为雅克比矩阵的数值初始参数beta0可以用以下方法求得: 首先观察有几个待定系数,有几个待定系数就将几组实验数据代入方程中,由此可得参数的初始值。 例题3给定以下数据,利用非线性的方法求出函数f(x)的参数。 x04793140186279372465558651y18.9827.3534.8638.5238.4437.7338.4343.8742.7746.22解: MATLAB代码如下: clc;clear; x=[0 47 93 140 186 279 372 465 558 651]; y=[18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22]; b0=[43 0.6 0.1]; %初始参数值 fun=inline('b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*X))','b','X'); [b,r,j]=nlinfit(x,y,fun,b0); %b为最佳参数 b R=sum(r.^2) %误差平方和 y1=fun(b,x); plot(x,y,'*',x,y1,'-or')运行结果: b =42.664037023023802 0.548346447450711 0.009880232273427 R =46.197464448828995 二. curve fitting tool工具以下将通过一个例子,来理解MATLAB中curve fitting tool工具。 首先在新建的脚本文件编辑框中键入以下代码: clc;clear; %产生数据 x=-20:2:20; y=-20:2:20; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=3*X.^3-4*X+2*Y.^4+3*Y^3; meshgrid(X,Y,Z);第一步 在APP选项框中打开curve fitting 工具,选择数据源X/Y/Z data 第二步 选择合适的拟合方法。本例子待拟合的曲面为多项式,所以可以直接选择。其他可选择的拟合类型,如下: Custom Equation:用户自定义的函数类型Interpolant:插值逼近,有四种类型,linear、nearest、neighbor、cubic spline、shape-preservingLowess:平滑逼近,局部加权回归Polynomial:多项式逼近,有9种类型,linear,quadratic,cubic,4-9th degree第三步 选择合适的多项式次数与系数 第四步 拟合后的结果信息在Fitting对话框中的Results文本框中,此处有此次拟合的主要统计信息,包含: 误差平方和 SSE:该参数计算拟合参数后的回归值与原始数据对应点的误差平方和,类比方差确定系数 R-square调整后的确实系数 Adjusted R-squareRMSE:该参数是预测数据和原始数据对应点误差的平方和的均值的平方根,即均方误差,类比标准差另外附加两个功能: 生成代码:文件>>Generate Code>>自动生成一个creatFit.m文件; 生成图片:文件>>Print to figure |
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