谢谢邀请。（呀这都是两年前的问题了…！）

我先引用教材（Real Analysis (4th Edition) [Halsey Royden, Patrick Fitzpatrick]）上的话来回答问题，接着再具体解释：

我想这段话就足够回答题主的问题啦。不过我想换一个有趣的角度解释一下~

=====================以下是解释=====================

问个问题：纽约在美国的哪个州？

不知道没关系，但我现在告诉你，美国总共有50个州，你来猜一猜吧！

要的就是这句话！我们来想一想，为什么猜50次就一定能猜中呢？因为美国总共只有50个州，所以答案只可能是50个州中的一个。（硬要说49次也行，不要在意这些细节…）

换句话说，『候选答案集合』里元素的个数是50个，是有限的。

当『候选答案集合』里元素的个数是有限的时候，你在猜之前就能知道最多需要才多少次。

对了，不用猜了，纽约在纽约州…

当『候选答案集合』里元素的个数不是有限的时候会是什么样的情况呢？

嗯，请听题：存在有多少种正多面体？

不对！

再想！

还是不对！

接近了！

哇你答对了你好厉害哦！

好吧，客套话而已，没什么厉害的。你只是一个个地猜嘛╮(╯_╰)╭

这回，候选答案可以是任何正整数，这就不是有限的了。可以看出，这回你没有办法提前知道最多要猜多少次。

只猜了五次是因为答案就是5，如果要是问『Taylor Swift有多少前男友』，你可能就要这么猜上好一会儿了…（不用猜了，这里有答案：

）

但是！！注意！！尽管你不知道需要猜多少次，但是你知道，照这么猜下去，一定在某个时候可以猜到答案！！

这点很重要，我再说一遍：因为这题的答案只能是个正整数（啊因为TS至少也有一个前男友嘛），所以你把正整数从小到大一个个猜过去，总能猜到答案。

如果按照顺序猜下去，一定可以在某个时候猜到答案的话，我们就可以说，『候选答案集合』是可数无穷的。（有限的情况之前已经说过了，这里就忽略了。）

在这个例子里，正整数集就是可数无穷的。

『有限的』与『可数无穷的』合在一起称为『可数的』。

『猜答案』是一个判定集合是否可数的好方法！我们现在已经知道，正整数集是可数的，那么如果加上负整数呢？整数集是可数的吗？

换句话说，如果我问你个问题，唯一确定的是这个问题的答案是整数，你有办法一定能把答案猜出来吗？

这回『从小到大猜』的方法可就不管用了，因为根本就没有最小的整数呀！

好吧，我们可以从中间向两边猜/按照绝对值从小到大的顺序来猜，即0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …这样一来，只要答案是某个整数，那么一定可以猜到！

所以，整数集也是可数的。

有理数集呢？可数吗？

换句话说，如果我问你个问题，唯一确定的是这个问题的答案是有理数，你有办法一定能把答案猜出来吗？

还是有办法的，我们可以按照最简分数的分子分母之和从小到大的顺序来猜，即：

（图片来自Wikipedia。红色的不是最简分数，猜的时候可以跳过，因为其最简形式已经被猜过，想想为什么。）

所以，有理数集是可数的。

好，那代数数是可数的么？

是的，我们可以按照代数式字符数从小到大的顺序来猜，即：

三个字符：

x=0

四个字符：

2x=0,3x=0,...,9x=0

x^{2}=0,x^{3}=0,...,x^{9}=0

-x=0

五个字符：

…………

…………

如此猜下去，对于任何一个有理数，我们都会在某个时候猜到它。

所以，代数数集是可数的。

可计算数是可数的吗？可定义数是可数的吗？

好吧这两个问题可能有点麻烦，因为我并没有说清楚什么叫『可计算数』和『可定义数』…我不打算在这里具体去解释这两个词啦，不过这两个问题的答案都是肯定的，因为我们可以分别按照算法和文字段落的长度从小到大的顺序来猜。

（M67大神在图灵生日会上具体讲过『可计算数』，可以看

。）

有！实数集不可数。

换句话说，如果我们只知道某个问题的答案是个实数，那么我们没有任何办法按照某种顺序把它猜出来。

（好吧其实不太严谨，因为这样一来这个数是『可定义的』，我最好说『某个不可知的问题的答案』——这不是定义，只是描述。）

怎么证明呢？注意，要想证明一个集合可数，我们只需要找出一种猜法就行了；但要想证明一个集合不可数，我们必须要证明不存在任何一种猜法！怎么办…？

这个时候就要请出『第一个理解了无穷大的人』——乔治·康托尔（Georg Cantor）。

康托尔在1891年的

里很巧妙地证明了实数不可数。实际上，这种『对角论证法』说明0到1之间的实数已经不可数了。

康托尔用的是反证法：假设存在一种『猜法』，即把0到1之间所有实数不重复不遗漏地排列出来的方法，如下（截图自Wikipedia）：

现在我们构造一个0到1之间的实数，其小数点后的第n位与r_{n}不同：

也就是说，这个数的小数点后第一位不是5，第二位不是1，第三位不是4…

这就意味着，这个数与列表中的每一个数r_{n}都至少在小数点后第n位是不同的。再换句话说，这个数不在这个列表里！

无论列表是什么样的，我们总能用这种方法构造出一个不在列表中的数，这就意味着，没有任何一个列表可以包含所有的0到1之间的实数。

所以，实数不可数。

可定义数是可数的，而实数是不可数的，这意味着什么…？没错…不可定义的实数远远多于可定义的实数——几乎所有的实数都是不可定义的。

不不不，根本就举不了例子，因为它们不可定义。引用M67大神在

这篇文章中说的话：

嗯。

既然提到了康托尔，我就再多说几句。我在

这篇回答里提到了『测度』的概念。

所有的可数的集合都是零测集。如果在一个可测集内，不满足某个性质的元素构成的集合是零测集，我们就说此性质在这个可测集上『几乎处处』成立。

好吧我知道这个概念很复杂…我就是想安利一下康托尔函数嘛╭(╯^╰)╮

康托尔函数是连续的，在其定义域[0, 1]上的导数几乎处处为零，然而f(0)=0, f(1)=1！！！

用通俗（但不严谨）的话来说，康托尔函数的图像是连续的，没有断开，而且图像上几乎每一个地方都是水平的，但是它神奇地却从0升高到了1！！！

想知道这是怎么回事吗？

一切精彩，尽在测度论╮(╯▽╰)╭

那么就这样=w=