随着电力电子技术在电力系统中的广泛应用，现代电力系统日益呈现出电力电子化的特征[1-2]。常规高压直流输电(LCC-HVDC)作为现代电力系统的重要组成部分，凭借高电压、大容量、远距离输送的经济性与灵活性高等优势被广泛应用到实际工程中[3-4]。对于中国的直流输电工程，南方电网已投运10回3 000万kW直流输电工程[5]，输送容量占远距离电能总容量的82%[6]，预计2030年将投运19回8 000万kW高压直流输电工程；而国家电网在“十四五”规划期间，华东、华中电网直流输电工程也将快速增加，其中华中电网中陕北至湖北、雅中至江西等特高压直流输电工程将于2021年相继投运[7]。LCC-HVDC的大量接入使得现代电力系统增加了大量响应时间常数不同的储能元件，进而导致现代电力系统的动态呈现多时间尺度的特征[8]，因此LCC-HVDC多时间尺度的动态分析是研究其对现代电力系统小扰动稳定影响的重要内容。

对于LCC-HVDC系统的建模与稳定性分析，文[9-11]基于交直流间的准稳态非线性关系，建立了LCC-HVDC的小信号模型，但忽略了开关动态和直流电流的动态，因此多用来分析LCC-HVDC对系统低频振荡的影响。文[12-13]利用基于Fourier级数展开和谐波平衡原理的动态相量方法，将原始的非线性周期时变系统转换到非线性时不变系统，从而在直流工作点上进行线性化处理，进而可以利用经典线性时不变理论进行小信号分析。当考虑高次分量时，由于控制器的非线性及开关函数的分段周期特性，动态相量建模的复杂性将急剧增加，因此该模型在实际应用时仅考虑基频和直流分量的动态，且多用来分析系统次同步振荡的相关问题。由于LCC-HVDC采用半控型开关器件，且开关频率与电磁尺度时间常数相当，因此LCC-HVDC开关过程的描述是分析该装备对电力系统电磁尺度动态稳定问题的关键，而现有文献并未对此深入分析。

根据LCC-HVDC的基本工作原理，半控型开关器件按照控制器输出触发角周期地开通、关断各开关管，且不同开关组合下的电压电流方程不同，因此该装备的原始方程呈现出断续周期时变的特征。另外，该装备原始断续方程的分段点受控制器输出影响，且控制器内部同时包含坐标变换等非线性环节，因此LCC-HVDC的原始方程又呈现出非线性特征。综上所述，对LCC-HVDC原始关系中非线性与周期时变性的理解、非线性关系的线性化和周期时变性的处理是该装备并网下系统电磁尺度小信号建模的基本挑战。因此本文在系统原始断续非线性时变方程的稳态周期轨迹上直接进行线性化处理，从而得到LCC-HVD C线性周期时变模型，进而利用文[14]所提的谐波状态空间方法，即利用Fourier级数展开和谐波平衡原理将线性周期时变模型变换为线性时不变模型，该方法得到的模型又称为谐波状态空间(HSS)模型。通过与现有仅考虑基频分量的动态相量模型的对比分析，探究了控制器参数对系统稳定性的影响，进而表征了LCC-HVDC开关过程对系统电磁尺度动态稳定问题的影响。

本文主要以LCC-HVDC整流站(见图 1)为例，主要包括换流器、控制器、直流线路，交流主回路和交流滤波器5部分，其中ucr和udcr分别为换流器交流母线和直流端口电压，ir和idcr分别为换流器交流和直流端口电流，Ldcr和Ldci为直流侧平波电抗器，Rdcr和Rdci为直流T型等效线路电阻，Cdc为T型等效线路电容，各部分详细拓扑结构及参数参考Benchmark标准模型[15]。图 2为控制器拓扑结构，控制方案采用定电流控制，锁相环控制为脉冲触发提供参考相位，与电流控制的输出共同产生触发序列[16-17]。

1) 换流器的原始数学关系。

换流器是LCC-HVDC系统的重要组成部分，工程中多采用十二脉波换流器，输入是三相交流母线电压及直流电流，输出为三相交流电流与直流电压，因此基于开关函数的交直流关系可表示为

其中：srva、srvb、srvc分别为a、b、c相电压开关函数，sria、srib、sric分别为a、b、c相电流开关函数。

由于开关器件的周期分段导通特性，使得用于描述开关器件导通状态的开关函数是分段周期函数，本文用0和1分别表示开关器件晶闸管的关断和导通状态，用0.5表示晶闸管的换相过程。值得注意的是，当晶闸管导通状态发生改变时，由于换相电感的存在，换相电流不能发生突变，故在换相过程中，换流器交直流电流具体表达式与交直流电压具体表达式不同。换相过程中交直流电流之间的关系可以通过斜率为±1/μ的一次函数进行线性近似处理[18]。以十二脉波换流器阀1电流开关函数为例进行说明，其具体表达式为

其中：θ为电网电压相位，α为触发角，μ为换相重叠角，k为整数。

图 3中，阀1电流开关函数对应的波形以2π为周期，且开关函数是关于触发角的函数。由于触发角是直流电流控制器的输出，因此电流开关函数本质上是关于直流电流的函数即si1(idcr)，从而导致开关过程的原始关系具有非线性特征。交直流电压表达式虽然不同于交直流电流表达式，但交直流电压关系同样体现出非线性特征，在此不再详细展开。

2) 控制器的原始数学关系。

图 2中，控制器包括电流控制器和锁相环控制器2部分。电流控制器根据直流电流实际值与指令值之差进行PI调节，输出触发控制角，其输入输出关系为：

其中：Tr为采样滤波时间常数，idrf为采样滤波器的输出，idref和αord分别为定电流控制中直流电流指令值和触发角指令值，kpcc和kicc为电流控制器PI参数。

锁相环控制器通过实时监测并网点相位为控制和脉冲生成提供同步信号基准，其中锁相环输入和输出分别为端电压相位和锁相环输出相位，其原始关系为

其中：ucr为三相静止坐标系下的交流母线电压矢量；uαβ为两相静止坐标系下的交流母线电压矢量；udq为旋转坐标系下的交流母线电压矢量，uq为其q轴分量；kppll和kipll为锁相环控制器PI参数；T为恒幅值Clark变换；Pθ为Park旋转坐标变换，其输入相位由锁相动态决定，因此该变换为非线性变换；θpll为锁相环输出相位。

当系统受到干扰时，电网电压相位会有一定的动态变化，锁相环的输出相位也会有一定的动态变化。由于锁相环输出相位为LCC-HVDC脉冲触发提供了参考相位，因此其动态变化将影响实际触发角。图 4给出了锁相环输出相位对实际触发角的影响，其中ucra′和ucrc′分别为ucra和ucrc受扰之后的量。

由此可得LCC-HVDC实际触发角与锁相环输出相位及定电流控制输出触发角指令值之间的关系为

其中θpcc为端电压相位。

3) 直流线路的数学模型。

LCC-HVDC直流线路采用集中参数模型，其拓扑结构图如图 1所示，因此直流侧电压电流关系可以表示为：

4) 交流系统的数学模型。

LCC-HVDC交流系统主要由交流侧主回路和交流滤波器组成，图 5以a相为例给出了整流站交流系统的单相结构图，分别选取电感电流及电容电压为状态变量，交流侧主回路与交流滤波器状态方程为：

其中K11~K78均为常数(见表 1)。由于系数K18项引入了开关函数，使得LCC-HVDC原始关系状态方程中含有周期时变量。

基于LCC-HVDC原始关系的认识可知该系统具有非线性周期时变特征，传统的将其变换到时不变系统下的建模思路将面临巨大的挑战，因此本文提出在系统原始方程的稳态周期轨迹上直接进行线性化处理，从而在更为一般化的线性体系下建立LCC-HVDC小信号模型即线性周期时变模型。现有针对分段线性周期时变模型的分析仍面临巨大的挑战，因此本文利用Fourier级数展开和谐波平衡原理，将LCC-HVDC线性周期时变(LTP)模型变换为无穷阶线性时不变模型即HSS模型，从而可以借助经典的线性时不变系统的稳定性分析方法对系统进行分析[19-21]，基本思路如图 6所示。

基于上述线性周期时变理论的建模方法对LCC-HVDC原始数学模型进行处理，得到LCC-HVDC的HSS小信号模型。

换流器部分HSS小信号模型可以表示为

其中符号Γ表示Toeplitz矩阵，下标“0”表示该变量的稳态值，其中Γ (idc0)和Δudc的具体表达式为:

其中k是正整数，下标(k)表示各变量Fourier分解后第k次分量的幅值，其他状态变量的结构与此类似。

定直流电流控制器环节的HSS小信号模型为:

其中N表示对角矩阵，具体形式为

锁相环控制环节的HSS小信号模型为:

直流线路的HSS小信号模型为:

交流系统部分的HSS小信号模型这里仅以a相为例:

为验证所建立的HSS小信号模型的正确性，将该小信号模型在MATLAB中实现，通过数值求解的方式计算各变量的动态响应，然后将该动态响应的时域结果与原始的详细非线性时域模型的仿真结果进行对比，即可初步验证所建立的小信号模型的正确性。其中主要电路参数参考国际大电网高压直流标准(CIGRE HVDC Benchmark)模型(见表 2)。

与现有的HSS理论建模类似，LCC-HVDC的HSS小信号模型同样具有无穷阶的特性，不利于具体的分析和计算，因此首先需要进行截断处理，本文对HSS小信号模型进行13阶截断处理。由于LCC-HVDC系统中各变量在HSS模型中以各变量Fourier级数幅值的形式存在，因此各变量实际的时域波形可以通过Fourier级数进行还原：

初始条件下，LCC-HVDC系统运行在idref为1.0 p.u.，在0.002 s时将直流电流控制器指令参考值idref阶跃为-0.03 p.u.。图 7给出了触发角在2种模型中的时域响应曲线，其中所建立的HSS小信号模型和原始详细非线性模型的动态响应结果可以很好地吻合，由此初步验证了所建立的HSS小信号模型的正确性。

由于在对HSS模型进行分析之前，需要进行高阶截断以保证模型的准确性，因此HSS模型的特征根具有特征根列的特征(见图 8)，其中特征根列的实部相同，虚部相差基频的整数倍。由于截断的影响，位于特征根列两端的特征根会部分偏移出特征根列，因此本文选择特征根列的中心特征根s0来表征系统特征。

电流控制器是实现LCC-HVDC正常运行的主要控制器之一，其参数对换流器的调节性能具有决定性作用，是影响系统动态性能的关键因素之一。

在阻尼比保持不变的情况下，电流控制器带宽变化对HSS小信号模型稳定性的影响如图 9所示。

随着带宽的增加，λ3、λ4和λ5、λ6单调向左半平面运动，表现为稳定性增强的趋势；λ7、λ8和λ9、λ10基本不受带宽变化的影响；λ1、λ2和λ11、λ12单调向右半平面移动，表现为稳定性逐步降低的趋势，但未到达复平面右半平面；λ13、λ14单调向右半平面移动并穿越虚轴到达右半平面，系统由稳定状态过渡到不稳定状态。为了探究开关过程在电流控制器带宽变化下对LCC-HVDC系统稳定性的影响，对比分析了电流控制器带宽同等条件变化下，基频动态相量模型的特征值变化，如图 10所示。随着带宽的增加，γ1、γ2和γ3、γ4基本不受带宽变化的影响，且系统在带宽变化过程中未出现不稳定状态。2种模型分析结果的不同，初步表明了电流控制器带宽变化下计及开关过程的LCC-HVDC建模对系统电磁尺度稳定性分析非常必要。

为了验证上述分析的正确性，在详细非线性时域模型中，保持阻尼比不变，当带宽由上述范围的最小带宽值切换到最大带宽值时，进行直流电流的时域仿真，结果如图 11所示。此时LCC-HVDC系统由稳定状态逐步发散，与上述HSS小信号模型分析结果相一致，而图 10基频动态相量模型的分析结果与图 11仿真结果不符，证明了考虑开关过程建模的必要性。

锁相环为LCC-HVDC系统的导通触发提供参考相位，也是影响系统动态性能的关键因素之一。

在阻尼比保持不变的情况下，锁相环控制器带宽变化对LCC-HVDC系统稳定性的影响如图 12所示。随着带宽的增加，λ11、λ12和λ15、λ16单调向左半平面运动，表现为稳定性增强的趋势；λ5、λ6和λ7、λ8基本不受带宽变化的影响；λ1、λ2和λ3、λ4单调向右半平面移动，表现为稳定性逐步降低的趋势，但未到达复平面右半平面；λ9、λ10的运动轨迹先向右移动再向左移动，始终在左半平面；λ13、λ14单调向左半平面移动并由右半平面穿越虚轴到达左半平面，系统由不稳定状态过渡到稳定状态。为了探究开关过程在锁相环控制器带宽变化下对LCC-HVDC系统稳定性的影响，对比分析了锁相环控制器带宽同等条件变化下基频动态相量模型的特征值变化，结果如图 13所示。随着带宽的增加，γ1、γ2和γ3、γ4单调向左半平面运动，表现为稳定性增强的趋势；γ6、γ7和γ8基本不受带宽变化的影响；γ5单调向右半平面移动，表现为稳定性逐步降低的趋势，但未到达复平面右半平面；锁相环带宽变化过程中未出现不稳定状态。由此初步表明了锁相环带宽变化下计及开关过程的LCC-HVDC建模对系统电磁尺度稳定性分析具有重要影响。

为了验证上述分析的正确性，在详细非线性时域模型中，保持阻尼比不变，当控制器带宽由上述范围的最大带宽值切换到最小带宽值时，进行直流电流的时域仿真，结果如图 14所示。此时LCC-HVDC系统由稳定状态逐步发散，与上述HSS小信号模型分析结果一致，而图 13基频动态相量模型的分析结果与图 14仿真结果不符，证明了计及开关过程的建模的必要性。

本文讨论了LCC-HVDC输入、输出原始关系及其非线性断续周期时变特征，指出该装备电磁尺度的基本问题和挑战，并基于线性周期时变理论建立了计及LCC-HVDC开关过程的电磁尺度HSS小信号模型。将HSS小信号模型分析结果与传统基于基频动态相量的小信号模型分析结果进行了对比，探究了控制器参数对系统稳定性的影响，证实了LCC-HVDC开关过程的动态特性对电力系统电磁尺度稳定性具有重要影响；并进一步说明对于电力系统电磁尺度稳定性问题，传统LCC-HVDC装备模型将导致对系统稳定性的揭示发生本征错误；该结论与时域仿真结果吻合。