病态问题之（改进）Jacobi迭代法（附matlab源码） |
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病态问题之（改进）Jacobi迭代法（附matlab源码）
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病态方程的解法有三类： 第一类，病态观测方程的直接解法，如阶段奇异值分解法， 第二类，病态法方程的修正，如有偏估计：（广义）岭估计，遗传算法； 第三类，迭代算法，如改进的雅克比迭代算法【孔祥强，2013】，谱修正迭代算法【王新洲，2001】 本文主要是针对（改进）雅克比迭代算法，解算病态方程； 附：Jacobi迭代计算公式和Modified Jacobi计算公式
非病态方程解： 系数阵A的条件数:cond(A)=2.7244 方法1：传统Jacobi迭代法 %%Jacobi迭代法为整体代换法，n为系数矩阵A的阶数，b为右端常向量，x0为迭代初始值， %jacobi[A,b,x0,n,maxN]; %A：系数矩阵 %b：常数项 %x0:迭代初值 %n:系数矩阵的阶数； %maxn:最大迭代次数 %reference：【数值分析,book,P36】 %2018/10/27 executive！ A=[20.0 2.0 3.0; 1.0 8.0 1.0; 2.0 -3.0 15.0]; b=[24.0 12.0 30.0]'; % b=[24.0 12.0 30.0]; n=size(A,1); %初始值 for i=1:n x0(i)=100000; end maxN=100;%最大迭代值 %调用jacobi函数 % x=jacobi(A,b,x0,n,maxN); %调用函数不管用，直接写吧 fid=fopen('Jacobi_Result.txt','w'); for i=1:n fprintf(fid,'%f ',x0(i)); %fprintf(fid,'\n'); end fprintf(fid,'\n'); for k=1:maxN %Jacobi迭代一次 for i=1:n sum=0.0; for j=1:n if(j~=i) sum=sum+A(i,j)*x0(j); x(i)=-1.0/A(i,i)*sum+b(i)/A(i,i); end end end for i=1:n x0(i)=x(i); fprintf(fid,'%.10f ',x0(i)); % fprintf(fid,'\n'); end fprintf(fid,'\n'); end fclose(fid);迭代结果（迭代19次收敛）： 方法2：改进的Jacobi迭代法 **%针对雅克比迭代法，无法有效解算病态方程，** %本文则对jacobi方法进行改进 %reference:【孔祥强，2013】【MyNote,P63】 %A：系数矩阵 %b：常数项 %x0:迭代初值 %n:系数矩阵的阶数； %maxn:最大迭代次数 %2018/10/27 A=[20.0 2.0 3.0; 1.0 8.0 1.0; 2.0 -3.0 15.0]; b=[24.0 12.0 30.0]'; % b=[24.0 12.0 30.0]; n=size(A,1); %初始值 for i=1:n x0(i)=100000; end maxN=100;%最大迭代值 %求F矩阵对角元素f(i) FF(:)=[]; for i=1:n if(A(i,i)>0) for j=1:n if(i~=j) temp=abs(A(i,:)); temp(i)=0; end end f(i)=max(temp); else f(i)=-max(temp); end FF(i,i)=f(i); end %w如何取值呢？？慢慢试，一般在（0,2）之间 w=0.5; fid=fopen('Modified_Jacobi_Result.txt','w'); for i=1:n fprintf(fid,'%f ',x0(i)); %fprintf(fid,'\n'); end fprintf(fid,'\n'); for k=1:maxN %Jacobi迭代一次 for i=1:n sum1=0.0; sum2=0.0; for j=1:n if(j~=i) sum1=sum1+A(i,j)*x0(j); sum2=w*f(i)*x0(i); x(i)=(-1.0*sum1+sum2+b(i))/(A(i,i)+w*f(i)); end end end for i=1:n x0(i)=x(i);%把x(k)赋给x(0) fprintf(fid,'%.10f ',x0(i)); % fprintf(fid,'\n'); end fprintf(fid,'\n'); end fclose(fid);迭代结果（迭代22次收敛）： 发现上面两个算法无法解算病态方程；问题还没解决？？？ 病态方程解： 方法1：传统Jacobi迭代 |
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