前面说到过，一阶差分可以消除非观测效应(或者固定效应)，但是他只是这些方法中的一个； 在某些情况下，固定效应变换能起到更好的作用。

考虑以下简单模型 y i t = β 1 x i t + a i + u i t , t = 1 , 2 , … , T y_{it} = \beta_1 x_{it} + a_i + u_{it}, t=1,2,\ldots,T yit​=β1​xit​+ai​+uit​,t=1,2,…,T

对每个 i i i求方程在时间上的平均，得到 y ˉ i = β 1 x ˉ i + a i + u ˉ i \bar{y}_i = \beta_1 \bar{x}_i + a_i + \bar{u}_i yˉ​i​=β1​xˉi​+ai​+uˉi​

上式减下式，得到 y i t − y ˉ i = β 1 ( x i t − x ˉ i ) + ( u i t − u ˉ i ) y_{it} - \bar{y}_i = \beta_1 (x_{it}-\bar{x}_i) + (u_{it}-\bar{u}_i) yit​−yˉ​i​=β1​(xit​−xˉi​)+(uit​−uˉi​) 简记为 y ¨ i t = β 1 x ¨ i t + u ¨ i t ( ∗ ) \ddot{y}_{it} = \beta_1 \ddot{x}_{it} + \ddot{u}_{it} \qquad (*) y¨​it​=β1​x¨it​+u¨it​(∗)

其中， y ¨ i t = y i t − y ˉ i \ddot{y}_{it} = y_{it} - \bar{y}_i y¨​it​=yit​−yˉ​i​表示 y y y除时间的均值数据； 而固定效应变换又称为组内变换,通过 ( ∗ ) (*) (∗)得到的OLS估计量又称为固定效应估计量或组内估计量；

注意事项

在四个假设下，与一阶差分估计量的假设一致，固定效应模型估计量是无偏的； 进一步的，当关键假定FE.4(严格外生性假定下)，当T固定而N趋向于无穷时，固定效应估计量是一致的；

要注意的是，在解释系数的时候仍然用最开始的方程来解释，固定效应模型只是用来计算估计量而已…

其中的 R 2 R^2 R2是从组内变换方程 ( ∗ ) (*) (∗)中计算得来的

对于固定效应模型，传统的观点认为：非观测效应 a i a_i ai​对于每个 i i i来说，都是一个有待估计的参数；对于每个 i i i估计一个截距的方法，就是连同解释变量一起，在每一个个体安排一个虚拟变量；无需做固定效应变换，直接估计非观测效应模型即可；

优缺点

这样一来，对于N个个体，T个时期，整个方程的自由度自然就是 d f = N T − k − N df=NT - k - N df=NT−k−N( k k k个解释变量， N N N个虚拟变量)，这就算是虚拟变量回归的一个优点(能直接看出自由度);

但是对于时期数T，如果只有一个时期的话，就会面临待估参数有 N + k N+k N+k而观测样本只有 N N N个的无关回归的处境； 大多数情况下，面板数据集都是N大T小的情况，使用虚拟变量回归不是很现实；

通过虚拟变量回归计算出的 R 2 R^2 R2通常都比较高，因为我们对每一个个体都包含了一个虚拟变量，以致能解释数据中变化的大部分;

对于虚拟变量估计出的 a i a_i ai​是无偏的，但是在给定 T , N → ∞ T, N\to \infty T,N→∞的时候，也是不一致的，只有在 T T T越大的时候，估计的效果才能变得更好；

当 T = 2 T=2 T=2的时候，FE与FD的估计量以及其全部检验统计量都完全一样。在FD中有一个包含第二个时期的截距，所以要使FE与FD完全一致，那么在FE的方程中加上第二个时期的虚拟变量就行；

当 T ≥ 3 T\geq3 T≥3的时候，FE与FD估计量便不相同，但两者都是无偏且一致的(在固定 T , N → ∞ T,N\to \infty T,N→∞), 对于较大的 N N N和较小的 T T T,FE和FD之间的选择的关键在其估计量的相对效率，这将由特异性误差 u i t u_{it} uit​中序列的相关性来决定；

当T很大，而N比较小时(如N=20,T=30),使用一阶差分更有效，因为一阶差分具有将一个单整时间序列过程转化为一个弱相关过程的有点，在T大N小的时候，援引中心极限定理，特异性误差中的正态性就不再需要；而固定效应估计量则对特异性误差中的正态性、异方差性和序列相关更敏感；

与一阶差分类似，固定效应估计量对一个或多个解释变量的经典测量误差和敏感。 另一方面，若 x i t x_{it} xit​都与 u i t u_{it} uit​无关，但违背了严格外生性假定(回归元中包含滞后因变量，或 u i t u_{it} uit​与解释变量未来结果之间有某种反馈)，则FE估计量可能明显比FD估计量偏误更小(除非T=2)。 一个重要的理论是，FD估计量的偏误不取决与T，而FE的估计量中偏误则是以速度 1 T \frac{1}{T} T1​趋于零；

还是从一个非观测效应开始 y i t = β 0 + β 1 x i t 1 + ⋯ + β k x i t k + a i + u i t y_{it} = \beta_0 + \beta_1 x_{it1} + \cdots + \beta_k x_{itk} + a_i + u_{it} yit​=β0​+β1​xit1​+⋯+βk​xitk​+ai​+uit​ 其中我们明确引入一个截距项，使得我们能够假定非观测效应 a i a_i ai​有零均值而又不失一般性；

我们假定 a i a_i ai​与任何一个解释变量在任何时期都无关 C o v ( x i t j , a i ) = 0 , t = 1 , 2 , … , T Cov(x_{itj},a_i) = 0, t=1,2,\ldots,T Cov(xitj​,ai​)=0,t=1,2,…,T 随机效应假定满足所有的固定效应假定，外加一条 a i a_i ai​与任何一个解释变量在任何时期都无关；

我们可以用以下两种不同的思路来估计 β j \beta_j βj​

注意： 参数 θ \theta θ是绝对未知但是可以估计的，有不同的估计方法，可以根据(对步骤1的式子)做混合OLS估计，得到 σ ^ v 2 \hat{\sigma}_v^2 σ^v2​,再通过公式 σ ^ a 2 = [ N T ( T − 1 ) 2 − ( k + 1 ) ] − 1 ∑ i = 1 N ∑ t = 1 T − 1 ∑ s = t + 1 T v ^ i t v ^ i s \hat{\sigma}_a^2 = [\frac{NT(T-1)}{2} - (k+1)]^{-1}\sum_{i=1}^N\sum_{t=1}^{T-1}\sum_{s=t+1}^T \hat{v}_{it} \hat{v}_{is} σ^a2​=[2NT(T−1)​−(k+1)]−1∑i=1N​∑t=1T−1​∑s=t+1T​v^it​v^is​得到 σ ^ a 2 \hat{\sigma}_a^2 σ^a2​,最后根据 σ ^ u 2 = σ ^ v 2 − σ ^ a 2 \hat{\sigma}_u^2 = \hat{\sigma}_v^2 -\hat{\sigma}_a^2 σ^u2​=σ^v2​−σ^a2​估计 σ ^ u 2 \hat{\sigma}_u^2 σ^u2​

对于软件计算出来的某些形式的 θ ^ \hat{\theta} θ^来代替 θ \theta θ的可行GLS估计量被称为随机固定效应估计量；该估计量不是无偏的，但是是一致的，相对固定的T，随着N的增大而渐近正态；

改写 ( ∗ ) (*) (∗)中的准除均值误差： v i t − θ v ˉ i = ( 1 − θ ) a i + u i t − θ u ˉ i v_{it} - \theta\bar{v}_i = (1-\theta)a_i + u_{it} - \theta \bar{u}_i vit​−θvˉi​=(1−θ)ai​+uit​−θuˉi​ 这样我们就能看到随机效应相对于固定效应的优点，随机效应变换方程中，无法观测因素 a i a_i ai​的权数为 ( 1 − θ ) (1-\theta) (1−θ)，尽管 a i a_i ai​与一个或多个 x i t j x_{itj} xitj​之间的相关导致随机效应估计中的不一致行，但我们看到，这种相关已经被因子 ( 1 − θ ) (1-\theta) (1−θ)削弱，随着 θ → 1 \theta \to 1 θ→1,偏误项趋近于0；

更常见的是同时使用RE与FE，然后规范的检验时变解释变量系数的统计显著差别；

对于选择RE还是FE，可以使用豪斯曼检验

在某些情况下，我们可以将 a i a_i ai​(非观测效应)当作随机变量使用，再加上我们得到的观测变量，这时就有了一个途径来允许 a i a_i ai​与观测的解释变量相关。

对于最简单的非观测效应模型 y i t = β 1 x i t + a i + u i t , t = 1 , 2 , … , T y_{it} = \beta_1 x_{it} + a_i + u_{it}, t=1,2,\ldots,T yit​=β1​xit​+ai​+uit​,t=1,2,…,T

与RE中的 a i a_i ai​与 { x i t : t = 1 , 2 , … , T } \{x_{it}: t=1,2,\ldots,T\} {xit​:t=1,2,…,T}不相关假设不同，与FE中方程除均值以消去 a i a_i ai​不同，现在假设 a i a_i ai​与 { x i t : t = 1 , 2 , … , T } \{x_{it}: t=1,2,\ldots,T\} {xit​:t=1,2,…,T}相关； 但是 a i a_i ai​又不随时间变化，我们假设其与 x i t x_{it} xit​的均值相关也比较合理；

于是建立以下线性方程 a i = α + γ x ˉ i + r i a_i = \alpha + \gamma \bar{x}_i + r_i ai​=α+γxˉi​+ri​ 其中，满足以下假设 C o v ( x ˉ i , r i ) = 0 Cov(\bar{x}_i, r_i) = 0 Cov(xˉi​,ri​)=0

将 a i a_i ai​代换掉，改写原方程 y i t = α + β 1 x i t + γ x ˉ i + r i + u i t y_{it} = \alpha + \beta_1 x_{it} + \gamma \bar{x}_i + r_i + u_{it} yit​=α+β1​xit​+γxˉi​+ri​+uit​ 现在将上式视作随机效应模型，就是加入了一个 x ˉ i \bar{x}_i xˉi​, a i a_i ai​用 r i r_i ri​来替换，对上式采用RE回归分析，得到了 α ^ C R E , β ^ C R E , γ ^ C R E \hat{\alpha}_{CRE},\hat{\beta}_{CRE},\hat{\gamma}_{CRE} α^CRE​,β^​CRE​,γ^​CRE​,称为CRE估算值，就 β ^ C R E \hat{\beta}_{CRE} β^​CRE​而言，与 β ^ F E \hat{\beta}_{FE} β^​FE​相等；

下面是采用CRE与FE得到的系数相等的一个解释：

差分、固定效应模型、随机效应模型这些面板数据的方法还可以用于截面数据；

下面列出两个例子，一个是对卵生姐妹间做差分以消除家庭背景差异，一个是对同卵双胞胎做差分而消除能力差异的例子；

上面说道的是配对样本的例子，下面再举一个聚类样本的例子，要注意的是： 聚类样本是事前聚类(从同一家公司中抽员工)而不是随机抽出来之后聚类