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本文主要给考研学生答疑，对于有共性的问题， 估计很多学生都存在的问题，我会挑选出来重点讲解。对于没有共性的问题则会和学生个别交流。

我的同事冯地耘老师对专业研究精深，他对我的提示和对问题的洞见，使我更加注意写作的重点，感谢冯老师！

本文中的个别问题也得到我所在的一个奥数兴趣微信群“王丞相”（王仕奎、陈学辉、相伟三人首字）的讨论。

FIR滤波器串讲之1——零点及其分布

王 仕 奎

极点有什么用

补充一点代数知识

回答学生的问题

FIR滤波器很复杂, 需要解释的东西很多. 首先从零点讲起, 最后顺便回答一个学生上次的提问. 不过, 我有时不仅仅局限在FIR滤波器, 因为FIR滤波器只有零点而没有极点.

一. 零、极点有什么用

零点和极点对于滤波器的特性是很重要的. IIR滤波器包含零点和极点, 而FIR滤波器没有极点, 只有零点. FIR没有极点的好处是永远是稳定的, 不存在是否稳定的问题. 正如俗话说的: “有一利必有一弊”, FIR滤波器也因此变得比较复杂, 往往需要很高的阶数(几十阶是很常见的)才能达到要求. 而IIR滤波器有时很低的阶数解可以达到设计要求, 比如我在课堂上演示的椭圆滤波器设计, 只需要3阶就可以实现很苛刻的设计要求(用Matlab设计IIR滤波器隐藏了所有的细节). 除了不存在是否稳定的问题外, FIR滤波器还可以保证线性相位, 这一点IIR滤波器是很难做到的, 能够做到也很复杂.

零点和极点共同决定系统的特性, 它们经常联系在一起. 讨论零点有时离不开极点. 下面的讨论适用于模拟系统和数字系统.

①首先, 零点对时域冲激响应的幅度和位置(即相位)有重要影响. 

②零极点抵消, 可以使得某些冲激响应成分消失.

③零极点的恰当搭配, 可以构成全通系统[1], 即所有频率成分都不改变幅度地完全通过. 这时, 极点在复平面左半平面, 零点在右半平面, 并且极点和零点关于虚轴对称. 全通系统不改变幅频特性, 但是可以改变相频特性. 全通系统可用于相位均衡(或称相位补偿).

④有一种系统叫做最小相位系统[1], 具有最小的相位滞后, 其群时延最小. 最小相位系统的零点都在单位圆里面. 最小相位系统在一般IIR滤波器的分解中有重要应用.

⑤ FIR滤波器的一些特殊零点具有特殊含义, 将在后面讲到.

二. 补充一点代数知识

由于FIR滤波器的系统函数是一个高次代数方程, 下面补充一点代数方程的知识.

①定理1  代数基本定理

对于FIR滤波器的系统函数, 还有一个重要性质, 即对称性(包括偶对称和奇对称), 这时系统的零点还有一个重要性质, 作为本文的定理3.

等四个复数都是零点.

如果零点在单位圆上, 那么另当别论, 这就要回答上次一个学生的提问了.

三. 回答学生的问题

首先回答学生发来的题目, 如下所示. 

至此, 第1问的9个零点都得到了. 至于第2问, 就是进行多项式化简了, 也有一点技巧, 这里不讨论.

下面对学生提出的另一个知识点进行详细解释. 该学生发来如下图片, 是文献[2]或者配套辅导材料里面的内容. 

为了回答学生的第2个问题, 下面不加证明地给出几个结论:

①两个偶对称多项式相乘, 结果还是偶对称多项式;

②两个奇对称多项式相乘, 结果还是偶对称多项式;

③一个奇对称多项式和一个偶对称多项式相乘, 结果是奇对称多项式.

有了上面三个结论, 下面具体分析在1和-1处的零点特性.

第一种情况, I型FIR滤波器: 阶数为偶数, 偶对称.

由于一共有偶数个根, 且是偶对称, 则在z = 1处必有偶数个零点(0也算偶数). 否则, 由前述三个结论, 奇数个奇对称多项式相乘, 还是奇对称多项式, 再乘以z = -1所对应的偶对称多项式和其他可能的偶对称多项式, 整个系统函数必为奇对称.

对于其他三个类型的FIR滤波器, 可以举一反三地类似说明, 这里不赘述.

参考文献

[1] 姚天任. 数字信号处理(第1版). 北京: 清华大学出版社, 2011, PP: 272-281.

[2] 陈后金等. 数字信号处理(第2版). 北京: 高等教育出版社, 2008, PP: 162-163.