图像的旋转是指以图像中的某一点为原点以逆时针或者顺时针方向旋转一定的角度。通常是绕图像的起始点以逆时针进行旋转。

  图像旋转计算公式如下： i ′ = i cos ⁡ θ − j sin ⁡ θ i'=i\cos\theta-j\sin \theta i′=icosθ−jsinθ j ′ = i sin ⁡ θ + j cos ⁡ θ j'=i\sin\theta+j\cos\theta j′=isinθ+jcosθ 其中， ( i , j ) (i,j) (i,j)是原图像 f ( i , j ) f(i,j) f(i,j)中的像素点坐标； ( i ′ , j ′ ) (i',j') (i′,j′)是对应像素点 ( i , j ) (i,j) (i,j)经过旋转变换后的图像 g ( i ′ , j ′ ) g(i',j') g(i′,j′)的坐标。

上面的这个公式是图像绕某一点O逆时针旋转 θ \theta θ度后的坐标。下面从数学角度推理下这个公式是如何来的。 原坐标点距离旋转中心的长度为 R R R，与 x x x轴的夹角记为 α \alpha α，逆时针旋转的角度为 θ \theta θ，旋转后得到的新的坐标点为 ( i ′ , j ′ ) (i',j') (i′,j′)。 则可知 i = R cos ⁡ α j = R sin ⁡ α i = R\cos \alpha \\ j = R \sin \alpha i=Rcosαj=Rsinα 记为式(一)。 同时 i ′ = R cos ⁡ ( α + θ ) j ′ = R sin ⁡ ( α + θ ) i'=R\cos(\alpha+\theta) \\ j'=R\sin(\alpha+\theta) i′=Rcos(α+θ)j′=Rsin(α+θ) 记为式(二)。 由三角公式可得： cos ⁡ ( α + θ ) = cos ⁡ α cos ⁡ θ − sin ⁡ α sin ⁡ θ sin ⁡ ( α + θ ) = sin ⁡ α cos ⁡ θ + cos ⁡ α sin ⁡ θ \cos(\alpha+\theta) = \cos\alpha \cos \theta - \sin \alpha \sin \theta \\ \sin(\alpha + \theta) = \sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta cos(α+θ)=cosαcosθ−sinαsinθsin(α+θ)=sinαcosθ+cosαsinθ 记为式(三)。将式(一)与式(三)同时带入式(二)便可得到： i ′ = i cos ⁡ θ − j sin ⁡ θ j ′ = i sin ⁡ θ + j cos ⁡ θ i'=i\cos\theta-j\sin \theta \\ j'=i\sin\theta+j\cos\theta i′=icosθ−jsinθj′=isinθ+jcosθ 如上便是逆时针旋转时的数学推理过程。

顺时针旋转时这里不给出推导过程（和逆时针类似），只给出结论，如下： i ′ = i cos ⁡ θ + j sin ⁡ θ j ′ = j cos ⁡ θ − i sin ⁡ θ i'=i\cos\theta+j\sin \theta \\ j'=j\cos\theta - i \sin \theta i′=icosθ+jsinθj′=jcosθ−isinθ

设原图为 f = [ f 11 f 12 f 13 f 21 f 22 f 23 f 31 f 32 f 33 ] f = \begin{bmatrix} f_{11} & f_{12} & f_{13}\\ f_{21} & f_{22} & f_{23}\\ f_{31} & f_{32} & f_{33}\\ \end{bmatrix} f= ​f11​f21​f31​​f12​f22​f32​​f13​f23​f33​​ ​ 则 i i i构成的矩阵为： i = [ 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ] i= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2\\ 3 & 3 &3\\ \end{bmatrix} i= ​123​123​123​ ​ j j j构成的矩阵为： j = [ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ] j= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\\ \end{bmatrix} j= ​111​222​333​ ​ 假设此时要逆时针旋转30度，则根据上面的公式计算 i ′ i' i′和 j ′ j' j′。 i ′ = i cos ⁡ 30 ° − j sin ⁡ 30 ° i'=i\cos30\degree-j\sin 30\degree i′=icos30°−jsin30° j ′ = i sin ⁡ 30 ° + j cos ⁡ 30 ° j'=i\sin30\degree+j\cos30\degree j′=isin30°+jcos30° 如果要顺时针旋转30度，加个负号就可以了。 计算出的 i ′ i' i′构成的矩阵为： i ′ = [ 0.4 − 0.1 − 0.6 1.2 0.7 0.2 2.1 1.6 1.1 ] i'= \begin{bmatrix} 0.4& -0.1 & -0.6\\ 1.2 & 0.7 & 0.2\\ 2.1 & 1.6 &1.1\\ \end{bmatrix} i′= ​0.41.22.1​−0.10.71.6​−0.60.21.1​ ​ 此时我们可以看到 i ′ i' i′中出现了负数和小数，这在我们编程中是行不通的，所以我们将 i ′ i' i′这个矩阵先进行四舍五入。 i ′ = i ′ − min ⁡ ( i ′ ) = i ′ − ( − 0.6 ) = [ 0 0 − 1 1 1 0 2 2 1 ] i'=i'-\min(i')=i'-(-0.6)=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0\\ 2 & 2 &1 \\ \end{bmatrix} i′=i′−min(i′)=i′−(−0.6)= ​012​012​−101​ ​ 又因为坐标没有负数，所以我们将 i ′ i' i′中的每个元素加上2变成正整数得 i ′ = [ 2 2 1 3 3 2 4 4 3 ] i'= \begin{bmatrix} 2& 2 & 1\\ 3 & 3 & 2\\ 4 &4 &3\\ \end{bmatrix} i′= ​234​234​123​ ​ 同理可得 j ′ = [ 1 2 3 2 3 4 2 3 4 ] j'= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 &4 \\ \end{bmatrix} j′= ​122​233​344​ ​

现在我们可以找到对应关系了，例如：原图中的(1,1)点对应新图中的(2,1)点。旋转处理后的的图像数据为： g = [ 0 0 f 13 0 f 11 f 12 0 f 23 0 f 21 f 22 f 33 0 f 31 f 32 0 ] g=\begin{bmatrix} 0 & 0 & f_{13} & 0\\ f_{11} & f_{12} & 0 & f_{23} \\ 0 & f_{21} &f_{22} &f_{33} \\ 0 & f_{31} & f_{32} & 0 \end{bmatrix} g= ​0f11​00​0f12​f21​f31​​f13​0f22​f32​​0f23​f33​0​ ​ 从得到的 g g g矩阵中我们可以看到， g 23 g_{23} g23​是一个空穴点，这一点我们需要利用插值法进行填补。其他为0的点则是属于画布上的空白点。

  均值插值法是将空穴像素周围像素值的均值作为填充值填在该空穴点中，如下图所示： 背景为浅蓝色的点为空穴点，像素值为0。那为什么其他像素值为0的点不是空穴点呢？这里我们给出一个定义：如果一个像素值为0的点的上、下、左、右四个位置处的像素值都不为0，那我们就认为该点是空穴点，需要进行填充。 填充方式就是： g 23 = ( f 13 + f 12 + f 23 + f 22 ) / 4 g_{23}=(f_{13}+f_{12}+f_{23}+f_{22})/4 g23​=(f13​+f12​+f23​+f22​)/4

1.数字图像处理基础.朱虹.