动态规划难吗？说实话，我觉得很难，特别是对于初学者来说，我当时入门动态规划的时候，是看 0-1 背包问题，当时真的是一脸懵逼。后来，我遇到动态规划的题，看的懂答案，但就是自己不会做，不知道怎么下手。就像做递归的题，看的懂答案，但下不了手，关于递归的，我之前也写过一篇套路的文章，如果对递归不大懂的，强烈建议看一看：为什么你学不会递归，告别递归，谈谈我的经验

对于动态规划，春招秋招时好多题都会用到动态规划，一气之下，再 leetcode 连续刷了几十道题

之后，豁然开朗 ，感觉动态规划也不是很难，今天，我就来跟大家讲一讲，我是怎么做动态规划的题的，以及从中学到的一些套路。相信你看完一定有所收获

如果你对动态规划感兴趣，或者你看的懂动态规划，但却不知道怎么下手，那么我建议你好好看以下，这篇文章的写法，和之前那篇讲递归的写法，是差不多一样的，将会举大量的例子。如果一次性看不完，建议收藏，同时别忘了素质三连。

为了兼顾初学者，我会从最简单的题讲起，后面会越来越难，最后面还会讲解，该如何优化。因为 80% 的动规都是可以进行优化的。不过我得说，如果你连动态规划是什么都没听过，可能这篇文章你也会压力山大。

动态规划，无非就是利用历史记录，来避免我们的重复计算。而这些历史记录，我们得需要一些变量来保存，一般是用一维数组或者二维数组来保存。下面我们先来讲下做动态规划题很重要的三个步骤，

如果你听不懂，也没关系，下面会有很多例题讲解，估计你就懂了。之所以不配合例题来讲这些步骤，也是为了怕你们脑袋乱了

第一步骤：定义数组元素的含义，上面说了，我们会用一个数组，来保存历史数组，假设用一维数组 dp[] 吧。这个时候有一个非常非常重要的点，就是规定你这个数组元素的含义，例如你的 dp[i] 是代表什么意思？

第二步骤：找出数组元素之间的关系式，我觉得动态规划，还是有一点类似于我们高中学习时的归纳法的，当我们要计算 dp[n] 时，是可以利用 dp[n-1]，dp[n-2]…dp[1]，来推出 dp[n] 的，也就是可以利用历史数据来推出新的元素值，所以我们要找出数组元素之间的关系式，例如 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，这个就是他们的关系式了。而这一步，也是最难的一步，后面我会讲几种类型的题来说。

学过动态规划的可能都经常听到最优子结构，把大的问题拆分成小的问题，说时候，最开始的时候，我是对最优子结构一梦懵逼的。估计你们也听多了，所以这一次，我将换一种形式来讲，不再是各种子问题，各种最优子结构。所以大佬可别喷我再乱讲，因为我说了，这是我自己平时做题的套路。

第三步骤：找出初始值。学过数学归纳法的都知道，虽然我们知道了数组元素之间的关系式，例如 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，我们可以通过 dp[n-1] 和 dp[n-2] 来计算 dp[n]，但是，我们得知道初始值啊，例如一直推下去的话，会由 dp[3] = dp[2] + dp[1]。而 dp[2] 和 dp[1] 是不能再分解的了，所以我们必须要能够直接获得 dp[2] 和 dp[1] 的值，而这，就是所谓的初始值。

由了初始值，并且有了数组元素之间的关系式，那么我们就可以得到 dp[n] 的值了，而 dp[n] 的含义是由你来定义的，你想求什么，就定义它是什么，这样，这道题也就解出来了。

不懂？没事，我们来看三四道例题，我讲严格按这个步骤来给大家讲解。

问题描述：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

按我上面的步骤说的，首先我们来定义 dp[i] 的含义，我们的问题是要求青蛙跳上 n 级的台阶总共由多少种跳法，那我们就定义 dp[i] 的含义为：跳上一个 i 级的台阶总共有 dp[i] 种跳法。这样，如果我们能够算出 dp[n]，不就是我们要求的答案吗？所以第一步定义完成。

我们的目的是要求 dp[n]，动态规划的题，如你们经常听说的那样，就是把一个规模比较大的问题分成几个规模比较小的问题，然后由小的问题推导出大的问题。也就是说，dp[n] 的规模为 n，比它规模小的是 n-1, n-2, n-3… 也就是说，dp[n] 一定会和 dp[n-1], dp[n-2]…存在某种关系的。我们要找出他们的关系。

那么问题来了，怎么找？

这个怎么找，是最核心最难的一个，我们必须回到问题本身来了，来寻找他们的关系式，dp[n] 究竟会等于什么呢？

对于这道题，由于情况可以选择跳一级，也可以选择跳两级，所以青蛙到达第 n 级的台阶有两种方式

一种是从第 n-1 级跳上来

一种是从第 n-2 级跳上来

由于我们是要算所有可能的跳法的，所以有 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]。

当 n = 1 时，dp[1] = dp[0] + dp[-1]，而我们是数组是不允许下标为负数的，所以对于 dp[1]，我们必须要直接给出它的数值，相当于初始值，显然，dp[1] = 1。一样，dp[0] = 0.（因为 0 个台阶，那肯定是 0 种跳法了）。于是得出初始值：

dp[0] = 0. dp[1] = 1. 即 n