图1.直角坐标系下积分区域示意图

接下来思考如何调换积分次序，不过提前声明一点：并不是所有题目都需要调换积分次序，调换积分次序的目的是能够更好的计算二重积分，如果原积分次序就方便计算，则无需调换积分次序。

什么是积分次序？就拿上面题目来说，题干是先对y求积分，最后才对x求积分，先y再x，这就是积分次序。调换积分次序，就是改变先y再x的积分次序，变成先x再y。接下来的关键问题是，如何根据图形所示的积分区域转换为不等式？

考虑先x再y的积分次序。这种积分次序，要从左往右，从下往上看积分区域，首先从左往右看对应的是先对x求积分，然后从下往上看对应的是再对y求积分，大家想想是不是这样的呢？从左往右看，看的是两侧边界是否不光滑、有突变点。在本题中，左侧边界是x=0，右侧边界是y=x，两侧边界都是光滑的、无突变点。接下来，从下往上看，即当y从0向t靠近时，对应于每一个y值，x的取值范围是[0, y]。因此，题目中的二重积分调换积分次序后并化简：

大家可以想想，判断两侧边界是否不光滑、有突变点的依据是什么？如果有突变点，该怎么处理？此外，在上面解答中，红色标注的负号是怎么来的呢？

除了在直角坐标系中表示二重积分，极坐标系下也能表示二重积分，在实际中，要熟练掌握直角坐标系和极坐标系下二重积分的转换。

在极坐标系中，用极坐标(r,θ)来表示平面中的任意一点，其中r为极径，θ为极角。请看关于r和θ的示意图2。对于点P,作起点为原点，且经过点P的射线。极角θ就是x轴正半轴沿逆时针或顺时针方向旋转到与射线重合时的所旋转的角度；极径r就是点P到原点的距离。需要注意一点的是，极角可以为负数，如果极角为负数，说明x轴正半轴顺时针旋转；如果极角为正数，说明x轴正半轴是逆时针旋转。极角的范围是[-2П, 2П]，而极径不小于0。

图2. 极坐标示意图

如何把极坐标和笛卡尔坐标联系起来呢？

还是看图2，不难发现如下两个关系式：

上面两个关系式完美地将极坐标系和直角坐标系联系起来了。那么如何把直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分呢？

根据二重积分的定义，二重积分描述的是立体图形的体积，根据微分思想，一个立体图形可以分成无数个窄长的子立体图形，这些窄长的子立体图形体积之和即为立体图形体积，而每个子立体图形的体积可以近似表示成底面积与高的乘积。仔细看看图3。

图3.极坐标系积分区域示意图

假设浅绿色区域与红色区域表示积分区域，对于极坐标系中的点P(r, θ)，当极径增加dr，极角增加dθ时，红色区域即为增加的区域，红色区域的面积S=rdθdr，因此，增加的子立体图形体积为f(rcosθ,rsinθ)rdθdr。

因此直角坐标系下和极坐标系下二重积分存在如下关系式：

在二重积分中，尽管有极坐标系和直角坐标系，但是事实上我们画图时都是画直角坐标系，这是什么意思呢？小编以下面这道题为例进行说明。

其实上题就是纯考大家积分区域的问题，同直角坐标系下的积分区域求法一样。在极坐标系下，同样根据变量的上下限得出两个不等式，如下所示：

根据上述两个不等式在直角坐标系中标出积分区域，不过相信不少人都感觉不太好在坐标系中直接根据极坐标不等式标出积分区域。不过小编告诉大家，可以根据积分区域边界特殊点画，而且一定要记住，极坐标的积分区域不需要精准的画出来，只是给最终解题提供参考。直接考虑三个边界特殊点A(0, -П/2 )、B(a, 0)、C(0, П/2)，在直角坐标系中标出三个特殊点，最后沿着极角增大的方向用光滑的线依次连接各点（注意：在连接各点时，需要判断两点之间的曲线是在x轴上方还是下方）。图中虚线的箭头表示沿着极角增大的方向连接各点。可以知道，积分区域大致为图4中绿色部分。

图4. 极坐标的积分区域示意图

小编在上面展示了如何在直角坐标系中大致画极坐标表示的积分区域。但是从图4的积分区域我们无法知道如何用直角坐标表示该区域。因此，这时候需要用到下面的方法：

第一步，写出直角坐标和极坐标的关系式，如下：

第二步，考虑r不等式，同时根据直角坐标和极角坐标的关系式把r不等式中的极角消掉，具体过程如下：

图5. 消掉极角过程

第三步，根据x、y、r的关系式，将r不等式转换为关于x、y的不等式，具体过程如下：

图6. 将r不等式转换为关于x、y的不等式

第四步，结合草图4可以得出答案为C。

最后，小编总结下，本文的目的是告诉大家如何画二重积分的积分区域，但是切勿把本题的解题思路教条化，即所有二重积分题目都按照小编给出的思路、步骤去解答。小编之所以花了大量笔墨描述如何表示积分区域，其意在培养大家的数形结合能力。返回搜狐，查看更多