在计算积分的时候，有时会需要使用三角函数代换（三角代换）的方式去掉二次根号。本文将给出一种扩展之后的三角函数代换公式，能够适用于更多的需要使用三角函数代换的计算场景，以作参考。

三角函数代换的原理（目的）就是利用如下两个公式在二次根号内部形成一个单独的平方项：

$$1 – \sin^{2} x = \cos^{2} x;$$

$$1 + \tan^{2} x = \sec^{2} x.$$

于是，简略版的三角函数代换公式是这样的：

$$\sqrt{a^{2} – x^{2}} \Rightarrow x = a \sin t;$$

$$\sqrt{a^{2} + x^{2}} \Rightarrow x = a \tan t;$$

$$\sqrt{x^{2} – a^{2}} \Rightarrow x = a \sec t.$$

但是，上面的公式没有考虑原式中 $x^{2}$ 项的前面如果存在系数时该怎么办。于是，我推导出了如下扩展后的三角函数代换公式：

$$\sqrt{a^{2} – b^{2} x^{2}} \Rightarrow x = \frac{a}{b} \sin t;$$

$$\sqrt{a^{2} + b^{2} x^{2}} \Rightarrow x = \frac{a}{b} \tan t;$$

$$\sqrt{x^{2} – b^{2} a^{2}} \Rightarrow x = \frac{a}{b} \sec t.$$

总的来说，只要记住本文开头提到的使用三角函数代换的目的，就可以很自然地想到上述扩展后的三角函数代换公式。

虽然，能够使用三角函数代换的题目往往会有“二次根号”和“二次方”等特征的出现，但是，在某些没有“二次方”的题目中我们也可以使用三角函数代换，因为，正如前面所说的，三角函数代换的目的或者说“精髓”就是凑出来本文开头提到的那两个公式。

在没有“二次方”的题目中，我们可以创造出“二次方”，例如，若题目中有 $\sqrt{1 – x}$, 则我们可以令 $x = \sin^{2} t$, 从而去掉原式中的根号。需要特别注意的是，在定积分中，无论使用了什么样的代换方式，都要在代换发生后及时根据代换的形式修正积分上下限，使之和原式保持等量关系。

例题：

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x}} = ?$$

解答：

令 $x = \sin^{2} t$, 则：

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x}} =$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{8} t}{\cos t} 2 \sin t \cos t dt =$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{9} t dt =$$

$$2 \times \frac{8}{9} \times \frac{6}{7} \times \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \times 1 =$$

$$\frac{256}{315}.$$

EOF